Вычислить частоту собственных колебаний в контуре с активным сопротивлением, равным нулю, если индуктивность этого контура равна 12 мГн, а его емкость составляет 0,88 мкФ. Как изменится частота колебаний, если в контур включить последовательно ещё три таких же конденсатора
Для вычисления частоты собственных колебаний в контуре с активным сопротивлением, равным нулю, используется формула:
f = 1 / (2 π √(L * C))
где: f - частота колебаний, π - математическая константа, L - индуктивность контура (12 мГн), C - емкость контура (0,88 мкФ).
Подставляя данные в формулу, получаем:
f = 1 / (2 π √(12 10^-3 0,88 10^-6)) f = 1 / (2 π √(0,01056 10^-3)) f = 1 / (2 π √0,00001056) f = 1 / (2 π 0,10275) f ≈ 1 / 0,644 f ≈ 1,55 Гц
Теперь, если в контур последовательно включить ещё три таких же конденсатора, емкость увеличится в 4 раза (так как конденсаторы включены последовательно). Новая емкость будет равна 3,52 мкФ (0,88 мкФ * 4). Подставляя новую емкость в формулу, получаем:
f' = 1 / (2 π √(12 10^-3 3,52 10^-6)) f' = 1 / (2 π √(0,04224 10^-3)) f' = 1 / (2 π √0,00004224) f' = 1 / (2 π 0,2056) f' ≈ 1 / 1,29 f' ≈ 0,775 Гц
Таким образом, частота собственных колебаний в контуре с активным сопротивлением, равным нулю, изменится с 1,55 Гц на 0,775 Гц при включении ещё трех конденсаторов.
Для начала рассчитаем частоту собственных колебаний LC-контура (колебательного контура), который состоит из катушки индуктивности и конденсатора. Формула для расчета резонансной (собственной) частоты колебаний в идеальном LC-контуре (без учета активного сопротивления) выглядит следующим образом:
[ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} ]
где ( \omega ) – угловая частота в радианах в секунду, ( L ) – индуктивность в генри, ( C ) – емкость в фарадах.
Переведем значения индуктивности и емкости в СИ:
Подставим значения в формулу: [ \omega = \frac{1}{\sqrt{12 \times 10^{-3} \times 0,88 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{10.56 \times 10^{-9}}} ] [ \omega \approx \frac{1}{3.25 \times 10^{-5}} \approx 30769 \, \text{рад/с} ]
Частота в герцах (f) будет равна: [ f = \frac{\omega}{2\pi} \approx \frac{30769}{2\pi} \approx 4896 \, \text{Гц} ]
Теперь рассмотрим изменение частоты при добавлении еще трех конденсаторов такой же емкости, включенных последовательно. При последовательном соединении общая емкость ( C{общ} ) рассчитывается по формуле: [ \frac{1}{C{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = 4 \times \frac{1}{C} ] [ C_{общ} = \frac{C}{4} = \frac{0,88 \times 10^{-6}}{4} = 0,22 \times 10^{-6} \, \text{Ф} ]
Емкость уменьшается в 4 раза, тогда новая угловая частота составит: [ \omega{нов} = \frac{1}{\sqrt{12 \times 10^{-3} \times 0,22 \times 10^{-6}}} ] [ \omega{нов} \approx \frac{1}{\sqrt{2.64 \times 10^{-9}}} \approx 61438 \, \text{рад/с} ]
Новая частота в герцах: [ f{нов} = \frac{\omega{нов}}{2\pi} \approx \frac{61438}{2\pi} \approx 9782 \, \text{Гц} ]
Таким образом, частота колебаний увеличивается примерно в 2 раза при добавлении трех дополнительных конденсаторов, включенных последовательно.
