Вычислить частоту собственных колебаний в контуре с активным сопротивлением, равным нулю, если индуктивность...

Для вычисления частоты собственных колебаний в контуре с активным сопротивлением, равным нулю, используется формула:

f = 1 / (2 π √$L\ast C$)

где: f - частота колебаний, π - математическая константа, L - индуктивность контура $12мГн$, C - емкость контура $0,88мкФ$.

Подставляя данные в формулу, получаем:

f = 1 / (2 π √(12 10^-3 0,88 10^-6)) f = 1 / (2 π √(0,01056 10^-3)) f = 1 / (2 π √0,00001056) f = 1 / (2 π 0,10275) f ≈ 1 / 0,644 f ≈ 1,55 Гц

Теперь, если в контур последовательно включить ещё три таких же конденсатора, емкость увеличится в 4 раза $таккакконденсаторывключеныпоследовательно$. Новая емкость будет равна 3,52 мкФ $0,88мкФ\ast 4$. Подставляя новую емкость в формулу, получаем:

f' = 1 / (2 π √(12 10^-3 3,52 10^-6)) f' = 1 / (2 π √(0,04224 10^-3)) f' = 1 / (2 π √0,00004224) f' = 1 / (2 π 0,2056) f' ≈ 1 / 1,29 f' ≈ 0,775 Гц

Таким образом, частота собственных колебаний в контуре с активным сопротивлением, равным нулю, изменится с 1,55 Гц на 0,775 Гц при включении ещё трех конденсаторов.

Для начала рассчитаем частоту собственных колебаний LC-контура $колебательногоконтура$, который состоит из катушки индуктивности и конденсатора. Формула для расчета резонансной $собственной$ частоты колебаний в идеальном LC-контуре $безучетаактивногосопротивления$ выглядит следующим образом:

$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$

где $\omega$ – угловая частота в радианах в секунду, $L$ – индуктивность в генри, $C$ – емкость в фарадах.

1. Переведем значения индуктивности и емкости в СИ:

   • Индуктивность $L=12$ мГн = $12\times {10}^{-3}$ Гн
   • Емкость $C=0,88$ мкФ = $0,88\times {10}^{-6}$ Ф

2. Подставим значения в формулу: $\omega =\frac{1}{\sqrt{12\times {10}^{-3}\times 0,88\times {10}^{-6}}}=\frac{1}{\sqrt{10.56\times {10}^{-9}}}$ $\omega \approx \frac{1}{3.25\times {10}^{-5}}\approx 30769\text{рад/с}$

Частота в герцах $f$ будет равна: $f=\frac{\omega }{2\pi }\approx \frac{30769}{2\pi }\approx 4896\text{Гц}$

Теперь рассмотрим изменение частоты при добавлении еще трех конденсаторов такой же емкости, включенных последовательно. При последовательном соединении общая емкость ( C{общ} ) рассчитывается по формуле: [ \frac{1}{C{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = 4 \times \frac{1}{C} ] $C_{общ}=\frac{C}{4}=\frac{0,88\times {10}^{-6}}{4}=0,22\times {10}^{-6}\text{Ф}$

Емкость уменьшается в 4 раза, тогда новая угловая частота составит: [ \omega{нов} = \frac{1}{\sqrt{12 \times 10^{-3} \times 0,22 \times 10^{-6}}} ] [ \omega{нов} \approx \frac{1}{\sqrt{2.64 \times 10^{-9}}} \approx 61438 \, \text{рад/с} ]

Новая частота в герцах: [ f{нов} = \frac{\omega{нов}}{2\pi} \approx \frac{61438}{2\pi} \approx 9782 \, \text{Гц} ]

Таким образом, частота колебаний увеличивается примерно в 2 раза при добавлении трех дополнительных конденсаторов, включенных последовательно.