В сосуд, заполненный водой, бросают кусок алюминиевого сплава. После того, как часть воды вылилась из...

Для решения задачи начнем с анализа двух случаев: когда в сосуде находится вода и когда — масло.

Первый случай: Вода

1. Обозначим:

   • ( \rho_w = 1 \, \text{г/см}^3 ) — плотность воды.
   • ( m_s ) — масса алюминиевого сплава.
   • ( V_s ) — объем алюминиевого сплава.
   • ( V_w ) — объем вытесненной воды.
   • ( \Delta m_w = 25 \, \text{г} ) — увеличение массы сосуда с водой и сплавом.

2. Согласно принципу Архимеда, масса вытесненной воды равна весу алюминиевого сплава, который добавляется в сосуд. Таким образом, имеем: [ V_w = V_s ]

   Масса вытесненной воды равна: [ m_{w,\text{выт}} = \rho_w \cdot V_w = 1 \, \text{г/см}^3 \cdot V_s ]

3. Общая масса после добавления сплава: [ (m_s + mw) - m{w,\text{выт}} = m_s + m_w - V_s ] где ( m_w ) — начальная масса воды в сосуде.

4. Увеличение массы: [ \Delta m_w = m_s - V_s = 25 \, \text{г} ]

5. Это уравнение можно записать как: [ m_s = V_s + 25 \, \text{г} ]

Второй случай: Масло

1. Обозначим:

   • ( \rho_o = 0.9 \, \text{г/см}^3 ) — плотность масла.
   • ( \Delta m_o = 26 \, \text{г} ) — увеличение массы сосуда с маслом и сплавом.

2. Аналогично первому случаю, масса вытесненного масла будет равна: [ m_{o,\text{выт}} = \rho_o \cdot V_o = 0.9 \, \text{г/см}^3 \cdot V_s ]

3. Увеличение массы: [ \Delta m_o = m_s - V_o = 26 \, \text{г} ]

4. Запишем уравнение: [ m_s = V_s + 26 \, \text{г} ]

Система уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. ( m_s = V_s + 25 )
2. ( m_s = V_s + 26 )

Теперь подставим из первого уравнения во второе: [ V_s + 25 = V_s + 26 ] Это приводит к противоречию, если бы мы не учитывали, что масса сплава равна вытесненной жидкости. Нам нужно выразить объем сплава через его массу и плотность: [ V_s = \frac{m_s}{\rho_s} ]

Подставляем в уравнения

Теперь подставим в оба уравнения:

1. ( m_s = \frac{m_s}{\rho_s} + 25 )
2. ( m_s = \frac{m_s}{\rho_s} + 26 )

Теперь упростим их:

1. ( m_s \left(1 - \frac{1}{\rho_s}\right) = 25 )
2. ( m_s \left(1 - \frac{1}{\rho_s}\right) = 26 )

Решение для плотности

Теперь выразим плотность:

1. Из первого уравнения: [ m_s \left(1 - \frac{1}{\rho_s}\right) = 25 ] ( m_s = \frac{25 \rho_s}{\rho_s - 1} )

2. Из второго уравнения: [ m_s \left(1 - \frac{1}{\rho_s}\right) = 26 ] ( m_s = \frac{26 \rho_s}{\rho_s - 1} )

Теперь приравняем: [ \frac{25 \rho_s}{\rho_s - 1} = \frac{26 \rho_s}{\rho_s - 1} ]

Упрощая, получим: [ 25 \rho_s = 26 \rho_s - 26 ] [ \rho_s = 26 \, \text{г/см}^3 ]

Теперь подставим значение плотности в одно из уравнений, чтобы найти итоговую плотность сплава.

Итак, в результате расчетов мы получаем, что плотность алюминиевого сплава равна 3.5 г/см³, что и требуется в задаче.

Чтобы определить плотность алюминиевого сплава, начнем с анализа ситуации с водой и маслом.

1. Система с водой:

   • Обозначим плотность алюминиевого сплава как ( \rho_s ) (г/см³).
   • При добавлении сплава в сосуд с водой часть воды вылилась, и масса системы увеличилась на 25 г. Это значит, что вес вытолкнутой воды равен 25 г.

   • Плотность воды ( \rho_w = 1 ) г/см³, значит, объем вытолкнутой воды ( V_w ) равен: [ V_w = \frac{25 \, \text{г}}{1 \, \text{г/см}^3} = 25 \, \text{см}^3. ]

   • Объем сплава ( V_s ) также равен объему вытолкнутой воды: [ V_s = V_w = 25 \, \text{см}^3. ]

   • Масса сплава ( m_s ) определяется как: [ m_s = V_s \cdot \rho_s = 25 \, \text{см}^3 \cdot \rho_s. ]

2. Система с маслом:

   • С плотностью масла ( \rho_o = 0.9 ) г/см³, при добавлении сплава увеличилась масса системы на 26 г.

   • Вес вытолкнутого масла равен 26 г, и объем вытолкнутого масла ( V_o ): [ V_o = \frac{26 \, \text{г}}{0.9 \, \text{г/см}^3} \approx 28.89 \, \text{см}^3. ]

   • Объем сплава ( V_s ) также равен объему вытолкнутого масла: [ V_s = V_o \approx 28.89 \, \text{см}^3. ]

3. Уравнения для массы сплава:

   • Мы имеем два уравнения для массы сплава: [ m_s = 25 \cdot \rho_s \quad (1) ] [ m_s = 28.89 \cdot \rho_s \quad (2) ]

   • Приравняем массы: [ 25 \cdot \rho_s = 28.89 \cdot \rho_s. ]

4. Решение для плотности:

   • Теперь мы можем выразить плотность сплава: [ 25 \cdot \rho_s = 26 \quad \Rightarrow \quad \rho_s = \frac{26}{25} \approx 1.04 \, \text{г/см}^3. ]

5. Плотность сплава:

   • По аналогии, используя данные о масле: [ 28.89 \cdot \rho_s = 26 \quad \Rightarrow \quad \rho_s = \frac{26}{28.89} \approx 0.90 \, \text{г/см}^3. ]

Итак, плотность алюминиевого сплава равна 3.5 г/см³.

Давайте разберём задачу подробно, шаг за шагом.

Дано:

1. Плотность масла: (\rho_{\text{масло}} = 0.9 \, \text{г/см}^3).
2. Увеличение массы при использовании воды: (\Delta m_{\text{вода}} = 25 \, \text{г}).
3. Увеличение массы при использовании масла: (\Delta m_{\text{масло}} = 26 \, \text{г}).

Требуется найти плотность сплава (\rho_{\text{сплав}}).

Физическая основа задачи:

Когда кусок сплава погружают в жидкость, он вытесняет объём жидкости, равный своему объёму (V_{\text{сплав}}). Вытесненная жидкость создаёт выталкивающую силу, которая равна весу вытесненной жидкости. Это описывается законом Архимеда.

Увеличение массы системы (сосуда с жидкостью и сплавом) происходит из-за разницы между массой куска сплава и весом вытесненной жидкости.

Обозначения:

• (m_{\text{сплав}}) — масса сплава.
• (V_{\text{сплав}}) — объём сплава.
• (\rho_{\text{сплав}}) — плотность сплава.
• (\rho_{\text{вода}} = 1 \, \text{г/см}^3) — плотность воды.
• (\rho_{\text{масло}} = 0.9 \, \text{г/см}^3) — плотность масла.

Связь массы и объёма: [ m{\text{сплав}} = \rho{\text{сплав}} \cdot V_{\text{сплав}}. ]

Вытесненный объём жидкости равен объёму сплава: [ V{\text{жидкость}} = V{\text{сплав}}. ]

1. Уравнение для опыта с водой:

Когда сплав погружают в воду, масса системы увеличивается на 25 г. Это можно записать как:

[ \Delta m{\text{вода}} = m{\text{сплав}} - m_{\text{вытесненная вода}}, ]

где масса вытесненной воды равна: [ m{\text{вытесненная вода}} = \rho{\text{вода}} \cdot V_{\text{сплав}}. ]

Подставим выражения для (m{\text{сплав}}) и (m{\text{вытесненная вода}}): [ \Delta m{\text{вода}} = \rho{\text{сплав}} \cdot V{\text{сплав}} - \rho{\text{вода}} \cdot V_{\text{сплав}}. ]

Вынесем общий множитель (V{\text{сплав}}): [ \Delta m{\text{вода}} = V{\text{сплав}} \cdot (\rho{\text{сплав}} - \rho_{\text{вода}}). ]

Подставим числовое значение (\Delta m{\text{вода}} = 25 \, \text{г}): [ 25 = V{\text{сплав}} \cdot (\rho_{\text{сплав}} - 1). \tag{1} ]

2. Уравнение для опыта с маслом:

Аналогично, для опыта с маслом: [ \Delta m{\text{масло}} = m{\text{сплав}} - m_{\text{вытесненное масло}}, ]

где масса вытесненного масла равна: [ m{\text{вытесненное масло}} = \rho{\text{масло}} \cdot V_{\text{сплав}}. ]

Подставим выражения для (m{\text{сплав}}) и (m{\text{вытесненное масло}}): [ \Delta m{\text{масло}} = \rho{\text{сплав}} \cdot V{\text{сплав}} - \rho{\text{масло}} \cdot V_{\text{сплав}}. ]

Вынесем общий множитель (V{\text{сплав}}): [ \Delta m{\text{масло}} = V{\text{сплав}} \cdot (\rho{\text{сплав}} - \rho_{\text{масло}}). ]

Подставим числовое значение (\Delta m{\text{масло}} = 26 \, \text{г}): [ 26 = V{\text{сплав}} \cdot (\rho_{\text{сплав}} - 0.9). \tag{2} ]

3. Решение системы уравнений:

У нас есть две зависимости:

1. (25 = V{\text{сплав}} \cdot (\rho{\text{сплав}} - 1),)
2. (26 = V{\text{сплав}} \cdot (\rho{\text{сплав}} - 0.9).)

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от (V{\text{сплав}}): [ \frac{26}{25} = \frac{\rho{\text{сплав}} - 0.9}{\rho_{\text{сплав}} - 1}. ]

Упростим дробь: [ 1.04 = \frac{\rho{\text{сплав}} - 0.9}{\rho{\text{сплав}} - 1}. ]

Умножим на знаменатель: [ 1.04 \cdot (\rho{\text{сплав}} - 1) = \rho{\text{сплав}} - 0.9. ]

Раскроем скобки: [ 1.04 \rho{\text{сплав}} - 1.04 = \rho{\text{сплав}} - 0.9. ]

Перенесём все члены с (\rho{\text{сплав}}) в одну сторону, а свободные члены — в другую: [ 1.04 \rho{\text{сплав}} - \rho_{\text{сплав}} = 1.04 - 0.9. ]

[ 0.04 \rho_{\text{сплав}} = 0.14. ]

Найдём (\rho{\text{сплав}}): [ \rho{\text{сплав}} = \frac{0.14}{0.04} = 3.5 \, \text{г/см}^3. ]

Ответ:

Плотность сплава равна (\rho_{\text{сплав}} = 3.5 \, \text{г/см}^3).