В результате упругого лобового столкновения частицы массой m1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись...

В задаче описывается упругое лобовое столкновение двух частиц. Давайте разберемся с условиями задачи и найдем массу второй частицы ( m_2 ).

Условие задачи

Изначально у нас есть частица с массой ( m_1 ), которая движется с некоторой скоростью ( v_0 ), и частица с массой ( m_2 ), которая покоится. После упругого столкновения обе частицы разлетаются в противоположные направления с одинаковыми по модулю скоростями ( v ).

Применение законов сохранения

При упругом столкновении выполняются два основных закона:

1. Закон сохранения импульса.
2. Закон сохранения кинетической энергии.

Закон сохранения импульса

До столкновения импульс системы равен импульсу движущейся частицы: [ m_1 v_0 = m_1 v_1' + m_2 v_2', ] где ( v_1' ) и ( v_2' ) — скорости частиц после столкновения.

По условию задачи ( v_1' = v ) и ( v_2' = -v ) (так как частицы разлетаются в противоположные стороны), тогда: [ m_1 v_0 = m_1 v - m_2 v. ]

Закон сохранения кинетической энергии

До столкновения кинетическая энергия системы равна кинетической энергии движущейся частицы: [ \frac{1}{2} m_1 v_0^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2. ]

Подставим ( v_1' = v ) и ( v_2' = v ) (по модулю скорости одинаковы): [ \frac{1}{2} m_1 v_0^2 = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2. ]

Решение уравнений

Уравнение импульса

[ m_1 v_0 = m_1 v - m_2 v. ] Перепишем его: [ m_1 v_0 = v(m_1 - m_2). ] (1) [ v_0 = v \left(1 - \frac{m_2}{m_1}\right). ]

Уравнение энергии

[ m_1 v_0^2 = m_1 v^2 + m_2 v^2. ] Перепишем его: [ m_1 v_0^2 = v^2 (m_1 + m_2). ] (2) [ v_0^2 = v^2 \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right). ]

Из уравнения (1): [ v_0 = v - \frac{v m_2}{m_1}. ]

Из уравнения (2): [ v_0^2 = v^2 + v^2 \frac{m_2}{m_1}. ]

Теперь выразим ( m_2 ) через ( m_1 ) и ( v_0 ).

Сравним уравнения: [ v_0 = v \left(1 - \frac{m_2}{m_1}\right). ] [ v_0^2 = v^2 \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right). ]

Чтобы упростить, выразим ( \frac{m_2}{m_1} ) из первого уравнения: [ \frac{m_2}{m_1} = 1 - \frac{v_0}{v}. ]

Подставим во второе уравнение: [ v_0^2 = v^2 \left(1 + 1 - \frac{v_0}{v}\right). ]

Решая это уравнение, получаем: [ v_0^2 = v^2 \left(2 - \frac{v_0}{v}\right). ]

После упрощения: [ \frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{3}. ]

Таким образом, масса второй частицы: [ m_2 = \frac{m_1}{3}. ]

Таким образом, масса частицы ( m_2 ) составляет треть от массы частицы ( m_1 ).

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Упругое лобовое столкновение означает, что импульс системы частиц до столкновения равен импульсу системы частиц после столкновения.

Импульс частицы m1 до столкновения равен 0, так как она покоится. После столкновения частицы разлетаются с одинаковыми скоростями, значит их импульсы равны по модулю и противоположны по направлению.

Пусть скорость, с которой разлетаются частицы, равна v. Тогда импульс частицы m1 после столкновения равен m1v, а импульс частицы m2 после столкновения равен -m2v.

Исходя из закона сохранения импульса, получаем уравнение:

m1v = m2v

m1 = m2

Таким образом, масса частицы m2 равна массе частицы m1.

m2 = 2m1