В направленном вертикально вниз однородном электрическом поле напряженностью 400 кВ/м равномерно вращается шарик массой 0,1 г с положительным зарядом 2 нКл, подвешенный на нити длиной 1 м. Угол отклонения нити от вертикали 30 градусов. Определить кинетическу энергию шарика.
Для определения кинетической энергии шарика в данной задаче можно воспользоваться принципом сохранения энергии.
Полная механическая энергия системы (шарика и поля) сохраняется, поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии остается постоянной.
Потенциальная энергия шарика в электрическом поле равна работе, которую совершает поле при перемещении заряда из бесконечности до текущего положения: U = q E h, где U - потенциальная энергия, q - заряд шарика, E - напряженность электрического поля, h - высота подъема шарика.
Поскольку шарик равномерно вращается, то его кинетическая энергия равна кинетической энергии вращения: K = (1/2) I w^2, где K - кинетическая энергия, I - момент инерции шарика, w - угловая скорость вращения шарика.
Из условия задачи известно, что угол отклонения нити от вертикали составляет 30 градусов. Таким образом, высота подъема шарика h = L * (1 - cos(30)), где L - длина нити.
Момент инерции шарика равен I = (2/5) m r^2, где m - масса шарика, r - радиус шарика.
Подставив все известные значения в формулы для потенциальной и кинетической энергии, можно определить кинетическую энергию шарика.
Для решения задачи нужно учесть несколько факторов: силы, действующие на шарик, его движение и параметры вращения. Рассмотрим их по порядку.
Силы, действующие на шарик:
Сила тяжести ( \vec{F_g} ): [ F_g = mg ] где ( m = 0.1 ) г = ( 0.0001 ) кг, ( g \approx 9.81 ) м/с².
Подставим значения: [ F_g = 0.0001 \text{ кг} \times 9.81 \text{ м/с}^2 = 0.000981 \text{ Н} ]
Электрическая сила ( \vec{F_e} ): [ F_e = qE ] где ( q = 2 ) нКл = ( 2 \times 10^{-9} ) Кл, ( E = 400 ) кВ/м = ( 400 \times 10^3 ) В/м.
Подставим значения: [ F_e = 2 \times 10^{-9} \text{ Кл} \times 400 \times 10^3 \text{ В/м} = 8 \times 10^{-4} \text{ Н} ]
Натяжение нити ( T ).
Равновесие сил в проекциях:
В вертикальной проекции: [ T \cos \theta = F_g + F_e ]
В горизонтальной проекции: [ T \sin \theta = m a_c ]
где ( \theta = 30^\circ ), ( a_c = \frac{v^2}{R} ) — центростремительное ускорение, ( R = l \sin \theta ) — радиус вращения, ( l = 1 ) м.
Найдем натяжение нити ( T ): [ T \cos 30^\circ = 0.000981 \text{ Н} + 0.0008 \text{ Н} ] [ T \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.001781 \text{ Н} ] [ T = \frac{0.001781 \text{ Н}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0.001781 \text{ Н} \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{0.003562}{1.732} \approx 0.002056 \text{ Н} ]
Центростремительное ускорение и скорость: [ T \sin 30^\circ = m \frac{v^2}{R} ] [ 0.002056 \text{ Н} \times 0.5 = 0.0001 \text{ кг} \frac{v^2}{1 \text{ м} \times 0.5} ] [ 0.001028 = 0.0001 \frac{v^2}{0.5} ] [ 0.001028 = 0.0002 v^2 ] [ v^2 = \frac{0.001028}{0.0002} = 5.14 ] [ v = \sqrt{5.14} \approx 2.27 \text{ м/с} ]
Кинетическая энергия шарика: [ E_k = \frac{1}{2} m v^2 ] Подставим значения: [ E_k = \frac{1}{2} \times 0.0001 \text{ кг} \times (2.27 \text{ м/с})^2 ] [ E_k = 0.00005 \times 5.1529 \approx 0.0002576 \text{ Дж} ]
Таким образом, кинетическая энергия шарика составляет примерно ( 0.0002576 ) Дж (или ( 2.576 \times 10^{-4} ) Дж).
