В дно водоема глубиной 2 м вбита свая, выступающая на 0,5 м из воды. Найти длину тени от сваи на дне...

Для решения задачи используем законы геометрической оптики и свойства преломления света.

Дано:

• Глубина водоема ( h_\text{вода} = 2 \ \text{м} ),
• Высота сваи, выступающей из воды ( h_\text{свая} = 0,5 \ \text{м} ),
• Угол падения света на поверхность воды ( \theta_1 = 30^\circ ),
• Показатель преломления воды ( n = 1,33 ).

Найти: длину тени от сваи на дне водоема.

Решение:

1. Разделим задачу на две части:

• Определим длину тени сваи, выступающей из воды, на поверхности воды.
• Определим длину тени на дне водоема, учитывая преломление света.

2. Определим длину тени сваи на поверхности воды:

На воздухе угол падения света составляет ( 30^\circ ). Тень от выступающей части сваи будет падать на поверхность воды.

Высота выступающей части сваи: [ h_\text{свая} = 0,5 \ \text{м}. ]

Тень на поверхности воды (обозначим её ( L_\text{поверхность} )) вычисляется из геометрии треугольника: [ \tan \theta1 = \frac{L\text{поверхность}}{h_\text{свая}}, ] где ( \theta_1 = 30^\circ ) — угол падения света.

Подставим значения: [ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577. ]

Тогда: [ L\text{поверхность} = h\text{свая} \cdot \tan \theta_1 = 0,5 \cdot 0,577 \approx 0,289 \ \text{м}. ]

Длина тени на поверхности воды составляет ( L_\text{поверхность} \approx 0,289 \ \text{м} ).

3. Учитываем преломление света:

При переходе света из воздуха в воду происходит преломление. Для определения угла преломления воспользуемся законом Снелла: [ n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2, ] где:

• ( n_1 = 1 ) — показатель преломления воздуха,
• ( \theta_1 = 30^\circ ) — угол падения,
• ( n_2 = 1,33 ) — показатель преломления воды,
• ( \theta_2 ) — угол преломления света.

Подставим известные значения: [ 1 \cdot \sin 30^\circ = 1,33 \cdot \sin \theta_2. ]

Так как ( \sin 30^\circ = 0,5 ), уравнение принимает вид: [ 0,5 = 1,33 \cdot \sin \theta_2. ]

Найдем ( \sin \theta_2 ): [ \sin \theta_2 = \frac{0,5}{1,33} \approx 0,376. ]

Найдем угол преломления ( \theta_2 ): [ \theta_2 = \arcsin(0,376) \approx 22,1^\circ. ]

4. Определим длину тени на дне водоема:

Теперь свет внутри воды распространяется под углом ( \theta_2 \approx 22,1^\circ ). Тень от всей сваи (включая часть под водой) будет падать на дно водоема.

Высота сваи под водой: [ h_\text{воды} = 2 \ \text{м}. ]

Длина тени на дне (обозначим её ( L_\text{дно} )) вычисляется из геометрии треугольника: [ \tan \theta2 = \frac{L\text{дно}}{h_\text{воды}}. ]

Подставим значения: [ \tan 22,1^\circ \approx 0,407. ]

Тогда: [ L\text{дно} = h\text{воды} \cdot \tan \theta_2 = 2 \cdot 0,407 \approx 0,814 \ \text{м}. ]

5. Общая длина тени:

Общая длина тени от сваи — это сумма длины тени на поверхности воды (( L\text{поверхность} )) и длины тени на дне водоема (( L\text{дно} )):

[ L\text{общая} = L\text{поверхность} + L_\text{дно}. ]

Подставим значения: [ L_\text{общая} = 0,289 + 0,814 \approx 1,103 \ \text{м}. ]

Ответ:

Общая длина тени от сваи на дне водоема составляет 1,1 м (с округлением до одного знака после запятой).

Для нахождения длины тени от сваи на дне водоема необходимо использовать закон преломления света и геометрию.

1. Высота сваи над водой: 0,5 м.
2. Общая глубина водоема: 2 м.
3. Глубина, на которой находится дно: 2 м - 0,5 м = 1,5 м.

Используем закон Снеллиуса для расчета угла преломления:

[ n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) ]

где:

• (n_1 = 1) (показатель преломления воздуха),
• (n_2 = 1,33) (показатель преломления воды),
• (\theta_1 = 30^\circ) (угол падения).

Находим (\sin(\theta_2)):

[ \sin(\theta_2) = \frac{n_1 \cdot \sin(\theta_1)}{n_2} = \frac{1 \cdot \sin(30^\circ)}{1,33} = \frac{0,5}{1,33} \approx 0,3767 ]

Теперь находим угол (\theta_2):

(\theta_2 \approx 22^\circ).

Далее, находим длину тени (L) от сваи на дне водоема:

[ L = h \cdot \tan(\theta_2) ]

где (h) – высота сваи под водой (1,5 м).

[ L = 1,5 \cdot \tan(22^\circ) \approx 1,5 \cdot 0,404 = 0,606 \, м. ]

Таким образом, длина тени от сваи на дне водоема составляет примерно 0,606 м.

Для решения задачи необходимо учитывать геометрию и оптические свойства среды, в которой происходит преломление света. Мы имеем свая высотой 0,5 м над уровнем воды и длиной, равной глубине водоема, то есть 2 м. Таким образом, длина сваи составляет 2 м + 0,5 м = 2,5 м.

Шаг 1: Находим угол преломления

Сначала необходимо определить угол преломления света, который проходит из воздуха в воду. У нас есть угол падения ( \theta_1 = 30^\circ ) (угол между падающим светом и нормалью к поверхности воды).

Используем закон Снеллиуса, который описывает связь между углом падения и углом преломления:

[ n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) ]

где:

• ( n_1 = 1 ) (показатель преломления воздуха),
• ( n_2 = 1.33 ) (показатель преломления воды),
• ( \theta_2 ) — угол преломления в воде.

Подставим известные значения:

[ 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) ]

Поскольку ( \sin(30^\circ) = 0.5 ), уравнение принимает вид:

[ 0.5 = 1.33 \cdot \sin(\theta_2) ]

Теперь решим это уравнение для ( \sin(\theta_2) ):

[ \sin(\theta_2) = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.3767 ]

Теперь находим угол преломления ( \theta_2 ):

[ \theta_2 \approx \arcsin(0.3767) \approx 22.1^\circ ]

Шаг 2: Находим длину тени на дне водоема

Теперь, когда мы знаем угол преломления, можем использовать его для нахождения длины тени от сваи на дне водоема.

Рассмотрим треугольник, образованный верхней частью сваи, дном водоема и концом тени. Высота сваи над водой составляет 0,5 м, а глубина водоема 2 м.

Используем тангенс угла преломления, чтобы найти длину тени ( L ):

[ \tan(\theta_2) = \frac{h}{L} ]

где ( h = 2 ) м — глубина водоема. Таким образом:

[ L = \frac{h}{\tan(\theta_2)} = \frac{2}{\tan(22.1^\circ)} ]

Теперь найдем ( \tan(22.1^\circ) ):

[ \tan(22.1^\circ) \approx 0.404 ]

Теперь подставим значение в формулу:

[ L = \frac{2}{0.404} \approx 4.95 \text{ м} ]

Ответ

Таким образом, длина тени от сваи на дне водоема составляет приблизительно 4.95 м.