Ускорение свободного падения у поверхности планеты равно g1=16 м/с2, а на высоте h=170 км над поверхностью...

Радиус планеты равен 10 000 км.

Для решения задачи используем закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения на поверхности планеты и на высоте над её поверхностью можно выразить через радиус планеты и высоту следующим образом:

1. Ускорение на поверхности планеты: [ g_1 = \frac{G M}{R^2} ]

2. Ускорение на высоте ( h ): [ g_2 = \frac{G M}{(R + h)^2} ]

где:

• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( M ) — масса планеты,
• ( R ) — радиус планеты.

Нам нужно найти радиус ( R ). Известно, что ( g_1 = 16 \, \text{м/с}^2 ), ( g_2 = 15 \, \text{м/с}^2 ), и высота ( h = 170 \, \text{км} = 170,000 \, \text{м} ).

Поделим одно уравнение на другое, чтобы исключить ( G ) и ( M ):

[ \frac{g_2}{g_1} = \frac{\frac{G M}{(R + h)^2}}{\frac{G M}{R^2}} = \frac{R^2}{(R + h)^2} ]

Подставим значения ( g_1 ) и ( g_2 ):

[ \frac{15}{16} = \frac{R^2}{(R + 170,000)^2} ]

Решим это уравнение для ( R ):

1. Возьмём квадратные корни: [ \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{R}{R + 170,000} ]

2. Упростим: [ \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{R}{R + 170,000} ]

3. Перемножим крест-накрест: [ \sqrt{15} (R + 170,000) = 4R ]

4. Раскроем скобки: [ \sqrt{15} \cdot R + \sqrt{15} \cdot 170,000 = 4R ]

5. Переносим все члены с ( R ) в одну сторону: [ 4R - \sqrt{15} \cdot R = \sqrt{15} \cdot 170,000 ]

6. Вынесем ( R ) за скобки: [ R (4 - \sqrt{15}) = \sqrt{15} \cdot 170,000 ]

7. Выразим ( R ): [ R = \frac{\sqrt{15} \cdot 170,000}{4 - \sqrt{15}} ]

Теперь подставим численное значение (\sqrt{15} \approx 3.872):

[ R \approx \frac{3.872 \cdot 170,000}{4 - 3.872} ]

[ R \approx \frac{658,240}{0.128} ]

[ R \approx 5,143,125 ]

Округлим до целых километров: [ R \approx 5,143 \, \text{км} ]

Таким образом, радиус планеты составляет примерно 5,143 км.

Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью планеты определяется формулой:

g2 = g1 * (R / (R + h))^2

где g1 - ускорение свободного падения на поверхности планеты, R - радиус планеты, h - высота над поверхностью планеты.

Подставляем известные данные:

15 = 16 * (R / (R + 170))^2

Упрощаем уравнение:

15 = 16 (R / (R + 170))^2 15/16 = (R / (R + 170))^2 √(15/16) = R / (R + 170) √(15/16) (R + 170) = R √(15/16) R + √(15/16) 170 = R R - √(15/16) R = √(15/16) 170 R(1 - √(15/16)) = √(15/16) 170 R = √(15/16) 170 / (1 - √(15/16))

Подставляем числовые значения и вычисляем радиус планеты:

R ≈ √(15/16) * 170 / (1 - √(15/16)) ≈ 6495

Ответ: радиус планеты примерно равен 6495 км.