Тонкий однородный стержень длины ℓ и массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей...

Для решения задачи рассмотрим физическую модель системы и применим законы динамики вращательного движения.

Начальный момент (горизонтальное положение):

Когда стержень находится в горизонтальном положении и только что отпущен, на него действуют две основные силы:

1. Сила тяжести ( \vec{F}_g = m \vec{g} ), приложенная к центру масс стержня, который находится на расстоянии ( \frac{\ell}{2} ) от оси вращения.
2. Сила нормальной реакции ( \vec{N} ), приложенная в точке крепления стержня к оси.

Поскольку стержень только отпущен, он не имеет начальной угловой скорости, и его угловое ускорение ( \alpha ) в этот момент определяется только под действием момента силы тяжести.

Момент силы тяжести относительно оси вращения равен: [ M = m g \cdot \frac{\ell}{2}. ]

По второму закону Ньютона для вращательного движения: [ I \alpha = M, ] где ( I = \frac{1}{3} m \ell^2 ) — момент инерции стержня относительно оси в его конце.

Подставим выражения: [ \frac{1}{3} m \ell^2 \alpha = m g \cdot \frac{\ell}{2}. ]

Отсюда находим угловое ускорение: [ \alpha = \frac{3g}{2\ell}. ]

В горизонтальном положении стержень не имеет вертикального перемещения, поэтому сила нормальной реакции компенсирует только вертикальную составляющую силы тяжести: [ N = m g. ]

Положение равновесия (вертикальное положение):

Когда стержень проходит через вертикальное положение, его потенциальная энергия минимальна, а кинетическая энергия максимальна. В этот момент скорость центра масс стержня максимальна, и стержень движется под действием центростремительной силы.

Центростремительное ускорение центра масс равно: [ a_c = \left( \frac{\ell}{2} \right) \omega^2, ] где ( \omega ) — угловая скорость в вертикальном положении.

Энергетический подход позволяет найти ( \omega ). В начальном горизонтальном положении потенциальная энергия стержня равна: [ E_{\text{пот}} = m g \cdot \frac{\ell}{2}. ]

В вертикальном положении она равна нулю, и вся энергия перешла в кинетическую: [ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} I \omega^2. ]

Энергия сохраняется, поэтому: [ m g \cdot \frac{\ell}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} m \ell^2 \omega^2. ]

Решая это уравнение для ( \omega ), получаем: [ \omega^2 = \frac{3g}{\ell}. ]

Центростремительное ускорение: [ a_c = \frac{\ell}{2} \cdot \frac{3g}{\ell} = \frac{3g}{2}. ]

Сила необходимая для обеспечения такого ускорения: [ F_c = m a_c = m \cdot \frac{3g}{2}. ]

Эта сила направлена вверх и складывается с силой тяжести: [ N = F_c + mg = m \cdot \frac{3g}{2} + mg = \frac{5mg}{2}. ]

Таким образом, в вертикальном положении сила нормальной реакции максимальна и равна ( \frac{5mg}{2} ), направлена вверх.

В начальный момент, когда стержень опущен, на него действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. При прохождении стержнем положения равновесия, сумма моментов сил относительно оси вращения равна нулю. Это означает, что сила нормальной реакции, действующей со стороны оси на стержень, равна по модулю силе тяжести и направлена вверх. Таким образом, в начальный момент и при прохождении стержнем положения равновесия, модуль силы нормальной реакции равен силе тяжести и направлен вверх.