Температуру воздуха в комнате подняли с 7°С до 27°С. Какая масса воздуха должна выйти из комнаты, чтобы...

Для решения задачи нужно использовать закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа. Исходя из этих принципов, мы можем рассчитать, какая масса воздуха должна выйти из комнаты, чтобы давление оставалось неизменным при изменении температуры.

Данные задачи:

• Начальная температура ( T_1 = 7 \, °C = 280 \, K ) (прибавляем 273 для перевода в Кельвины)
• Конечная температура ( T_2 = 27 \, °C = 300 \, K )
• Объем воздуха ( V = 50 \, m^3 )
• Давление ( P = 101325 \, Pa ) (нормальное атмосферное давление)

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа записывается как:

[ PV = nRT ]

где:

• ( P ) — давление,
• ( V ) — объем,
• ( n ) — количество вещества в молях,
• ( R ) — универсальная газовая постоянная ( R = 8.314 \, J/(mol \cdot K) ),
• ( T ) — температура в Кельвинах.

Определение начального и конечного количества вещества

1. Начальное количество вещества ( n_1 ) при температуре ( T_1 ):

[ n_1 = \frac{PV}{RT_1} = \frac{101325 \, Pa \cdot 50 \, m^3}{8.314 \, J/(mol \cdot K) \cdot 280 \, K} ]

Рассчитаем ( n_1 ):

[ n_1 = \frac{5066250}{2327.92} \approx 2178.8 \, mol ]

1. Конечное количество вещества ( n_2 ) при температуре ( T_2 ):

[ n_2 = \frac{PV}{RT_2} = \frac{101325 \, Pa \cdot 50 \, m^3}{8.314 \, J/(mol \cdot K) \cdot 300 \, K} ]

Рассчитаем ( n_2 ):

[ n_2 = \frac{5066250}{2494.2} \approx 2032.1 \, mol ]

Разница в количестве вещества

Теперь мы можем вычислить, сколько молей воздуха должно выйти из комнаты:

[ \Delta n = n_1 - n_2 = 2178.8 \, mol - 2032.1 \, mol \approx 146.7 \, mol ]

Масса воздуха

Для вычисления массы воздуха, которая должна выйти, используем молярную массу воздуха, которая составляет примерно ( M = 29 \, g/mol = 0.029 \, kg/mol ).

Теперь рассчитаем массу:

[ m = \Delta n \cdot M = 146.7 \, mol \cdot 0.029 \, kg/mol \approx 4.26 \, kg ]

Ответ

Чтобы давление в комнате осталось неизменным при повышении температуры воздуха с 7°С до 27°С, необходимо, чтобы вышло примерно 4.26 кг воздуха.

Для решения задачи можно использовать закон Бойля-Мариотта, который утверждает, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления и объема остается постоянным. Формула выглядит так:

( P_1V_1/T_1 = P_2V_2/T_2 )

Где:

• ( P ) — давление,
• ( V ) — объем,
• ( T ) — температура в Кельвинах.

Температуры в Кельвинах:

• ( T_1 = 7°С + 273.15 = 280.15 \, K )
• ( T_2 = 27°С + 273.15 = 300.15 \, K )

Объем остается неизменным (50 м³), а давление также должно остаться постоянным. Подставляя данные в уравнение:

[ V = 50 \, m³, ] [ P_1/T_1 = P_2/T_2 \implies T_1/T_2 = (m_1)/(m_2), ]

где ( m_1 ) — начальная масса воздуха, ( m_2 ) — конечная масса воздуха.

Изменение температуры приводит к изменению массы воздуха. Подставим значения:

[ m_2 = m_1 \cdot (T_2/T_1) = m_1 \cdot (300.15/280.15). ]

Теперь, чтобы давление осталось постоянным, необходимо, чтобы часть воздуха вышла из комнаты:

[ m_{out} = m_1 - m_2 = m_1 - m_1 \cdot (300.15/280.15) = m_1 \cdot (1 - 300.15/280.15). ]

Теперь найдем это значение. Сначала найдем начальную массу воздуха, используя среднюю плотность воздуха (приблизительно 1.225 кг/м³ при нормальных условиях):

[ m_1 = 50 \, m³ \cdot 1.225 \, kg/m³ \approx 61.25 \, kg. ]

Теперь подставим в уравнение:

[ m_{out} = 61.25 \cdot (1 - 300.15/280.15) \approx 61.25 \cdot (1 - 1.071) \approx 61.25 \cdot (-0.071) \approx -4.35 \, kg. ]

Положительное значение массы, которое должно выйти, будет:

[ m_{out} \approx 4.35 \, kg. ]

Таким образом, чтобы давление осталось неизменным, из комнаты должно выйти приблизительно 4.35 кг воздуха.

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно использовать уравнение состояния идеального газа и понятие массовой плотности воздуха. Давайте разберем задачу пошагово.

Дано:

1. Начальная температура ( T_1 = 7^\circ\text{C} = 273 + 7 = 280\ \text{K} ),
2. Конечная температура ( T_2 = 27^\circ\text{C} = 273 + 27 = 300\ \text{K} ),
3. Давление ( P = P_0 = 101325\ \text{Па} ) (нормальное атмосферное давление),
4. Объем комнаты ( V = 50\ \text{м}^3 ).

Нужно найти массу воздуха, которая должна выйти из комнаты, чтобы давление оставалось постоянным при нагреве воздуха.

Уравнение состояния идеального газа:

Уравнение состояния идеального газа записывается как:

[ P V = nRT, ]

где:

• ( P ) — давление газа, Па,
• ( V ) — объем газа, м³,
• ( n ) — количество вещества газа, моль,
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R = 8.31\ \text{Дж/(моль·К)} )),
• ( T ) — абсолютная температура, К.

Масса газа связана с количеством вещества ( n ) через молярную массу ( M ):

[ m = nM, ]

где ( M ) — молярная масса воздуха (( M \approx 0.029\ \text{кг/моль} )).

Решение:

1. Найдем массу воздуха в комнате до нагрева.

Из уравнения состояния идеального газа выразим количество вещества ( n_1 ) при начальной температуре ( T_1 ):

[ n_1 = \frac{P V}{RT_1}. ]

Подставим значения: [ n_1 = \frac{101325 \cdot 50}{8.31 \cdot 280} \approx 2169.6\ \text{моль}. ]

Масса воздуха ( m_1 ) до нагрева:

[ m_1 = n_1 M = 2169.6 \cdot 0.029 \approx 62.92\ \text{кг}. ]

2. Найдем массу воздуха, которая останется в комнате после нагрева.

При нагреве давление ( P ) и объем ( V ) остаются постоянными, но температура повышается до ( T_2 ). Количество вещества ( n_2 ) после нагрева:

[ n_2 = \frac{P V}{RT_2}. ]

Подставим значения: [ n_2 = \frac{101325 \cdot 50}{8.31 \cdot 300} \approx 2024.7\ \text{моль}. ]

Масса воздуха ( m_2 ), которая останется в комнате:

[ m_2 = n_2 M = 2024.7 \cdot 0.029 \approx 58.72\ \text{кг}. ]

3. Найдем массу воздуха, которая должна выйти.

Масса воздуха, которая должна выйти из комнаты, чтобы давление осталось неизменным:

[ \Delta m = m_1 - m_2. ]

Подставим значения: [ \Delta m = 62.92 - 58.72 \approx 4.20\ \text{кг}. ]

Ответ:

Чтобы давление в комнате оставалось неизменным при нагреве воздуха с ( 7^\circ\text{C} ) до ( 27^\circ\text{C} ), из комнаты должно выйти примерно 4.20 кг воздуха.