Тело массой m подвешивают на невесомой пружине жесткостью k и первоначальной длиной l0. Затем тело раскручивают...

Когда тело массой ( m ) подвешено на пружине и вращается, описывая в пространстве конус, оно испытывает центробежную силу, которая дополнительно растягивает пружину. Чтобы найти удлинение пружины ( \Delta l ), нужно учесть баланс сил в системе.

1. Центробежная сила: При вращении тело испытывает центробежную силу, которая направлена радиально наружу и равна [ F_{\text{центробежная}} = m \omega^2 r, ] где ( \omega = 2\pi n ) — угловая скорость, а ( r ) — радиус окружности, по которой тело вращается.

2. Радиус вращения: Радиус вращения ( r ) связан с длиной пружины. Если ( \Delta l ) — удлинение пружины, то полная длина пружины становится ( l_0 + \Delta l ). Поскольку пружина и тело описывают конус, радиус вращения можно выразить как [ r = (l_0 + \Delta l) \sin \theta, ] где ( \theta ) — угол между пружиной и вертикалью.

3. Сила упругости пружины: Сила упругости, действующая на тело со стороны пружины, определяется законом Гука: [ F_{\text{упругость}} = k \Delta l. ]

4. Равновесие сил: В вертикальном направлении на тело действуют сила тяжести и вертикальная составляющая силы упругости. В радиальном направлении силы уравновешиваются центробежной силой. Для вертикального равновесия имеем: [ mg = k \Delta l \cos \theta. ]

5. Уравнение для радиального направления: [ m \omega^2 (l_0 + \Delta l) \sin \theta = k \Delta l \sin \theta. ]

6. Решение уравнений: Из уравнения для радиального направления упростим, убрав (\sin \theta) (если (\theta \neq 0)): [ m \omega^2 (l_0 + \Delta l) = k \Delta l. ]

   Подставим ( \omega = 2\pi n ): [ m (2\pi n)^2 (l_0 + \Delta l) = k \Delta l. ]

   Разделим обе части на ( \Delta l ) и выразим ( \Delta l ): [ \Delta l = \frac{m (2\pi n)^2 l_0}{k - m (2\pi n)^2}. ]

   Это уравнение выражает удлинение пружины (\Delta l) через известные параметры задачи: массу (m), жесткость пружины (k), начальную длину пружины (l_0), и частоту вращения (n).

Таким образом, удлинение пружины (\Delta l) зависит от массы тела, жесткости пружины, начальной длины пружины и частоты вращения. Условие устойчивости системы требует, чтобы (k > m (2\pi n)^2), иначе пружина будет растягиваться бесконечно.

Для определения удлинения пружины Δl в данной ситуации можно воспользоваться формулой для вычисления удлинения пружины при действии на нее вращательного момента.

При вращении тела с массой m вокруг невесомой пружины с частотой n, на пружину будет действовать вращательный момент, который вызовет удлинение пружины.

Удлинение пружины Δl можно выразить формулой: Δl = (m l0 n^2) / k

Где: m - масса тела, l0 - первоначальная длина пружины, n - частота вращения тела, k - жесткость пружины.

Таким образом, для определения удлинения пружины Δl необходимо знать массу тела, первоначальную длину пружины, частоту вращения тела и жесткость пружины. Решив данное уравнение, можно получить значение удлинения пружины в данной ситуации.