Тело массой 100г совершает колебания на пружине с амплитудой 5 см. Максимальное значение модуля скорости этого тела равна 5 м/с. Определите коэффициент жесткости пружины.
Тело массой 100г совершает колебания на пружине с амплитудой 5 см. Максимальное значение модуля скорости этого тела равна 5 м/с. Определите коэффициент жесткости пружины.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться законом сохранения механической энергии. Пусть максимальное значение потенциальной энергии пружины равно максимальной кинетической энергии тела.
Максимальная потенциальная энергия пружины: Ep = 1/2 k x^2, где k - коэффициент жесткости пружины, x - амплитуда колебаний.
Максимальная кинетическая энергия тела: Ek = 1/2 m v^2, где m - масса тела, v - максимальная скорость тела.
Подставляем известные значения и приравниваем две энергии друг другу: 1/2 k (0.05)^2 = 1/2 0.1 (5)^2, k * 0.0025 = 0.25, k = 0.25 / 0.0025, k = 100 Н/м.
Таким образом, коэффициент жесткости пружины равен 100 Н/м.
Для решения задачи найдем сначала угловую частоту колебаний, используя известные параметры системы.
Тело массой ( m = 100 \, \text{г} = 0.1 \, \text{кг} ) совершает гармонические колебания на пружине. Амплитуда колебаний ( A = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м} ). Максимальная скорость ( v_{\text{max}} = 5 \, \text{м/с} ).
Максимальная скорость в гармонических колебаниях связана с угловой частотой (\omega) и амплитудой (A) следующим образом: [ v_{\text{max}} = A \omega ]
Отсюда можем выразить угловую частоту: [ \omega = \frac{v_{\text{max}}}{A} = \frac{5}{0.05} = 100 \, \text{рад/с} ]
Угловая частота также связана с коэффициентом жесткости пружины (k) и массой (m) через формулу: [ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} ]
Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим коэффициент жесткости (k): [ \omega^2 = \frac{k}{m} ] [ k = m \omega^2 ]
Подставим известные значения: [ k = 0.1 \times 100^2 = 0.1 \times 10000 = 1000 \, \text{Н/м} ]
Таким образом, коэффициент жесткости пружины равен 1000 Н/м.
