Средние кинетические энергии молекул газов в сосудах 1 и 2 одинаковы. Для первого сосуда: V, m= 4г H2, n1=6х10^24 м-3; для второго: 0,5V, m= 2г Не, р2 = 3 ат. А) Чему равна концентрация молекул во втором сосуде?
Б) Чему равно давление газа в первом сосуде?
В) Чему равен объем первого сосуда?
Г) Чему равна средняя кинетическая энергия молекул газов?
Д) Во сколько раз отличаются средние скорости теплового движения молекул в сосудах?
Для решения задачи воспользуемся несколькими важными уравнениями и принципами кинетической теории газов. Давайте разберем каждый пункт по порядку.
А) Чему равна концентрация молекул во втором сосуде?
Для второго сосуда известно:
Перейдем давление в СИ: ( p_2 = 3 \times 1.013 \times 10^5 ) Па = ( 3.039 \times 10^5 ) Па.
Используем уравнение состояния идеального газа: ( pV = Nk_BT )
Для второго сосуда: [ p_2 V_2 = n_2 k_B T ]
где ( n_2 ) - концентрация молекул (число молекул на единицу объема), ( k_B ) - постоянная Больцмана, ( T ) - температура.
Так как ( V_2 = 0.5V ), то уравнение можно переписать как: [ n_2 = \frac{p_2 V_2}{k_B T} = \frac{p_2 \cdot 0.5V}{k_B T} ]
Теперь выразим ( n_2 ) в зависимости от известных величин: [ n_2 = \frac{p_2 \cdot 0.5V}{k_B T} ]
Но мы знаем, что средние кинетические энергии молекул в сосудах одинаковы, значит температуры в сосудах одинаковы. Это значит, что: [ n_2 = \frac{p_2 \cdot 0.5V}{k_B T} = \frac{3 \times 1.013 \times 10^5 \cdot 0.5V}{k_B T} ] [ n_2 = \frac{1.5 \times 1.013 \times 10^5 \cdot V}{k_B T} ]
Теперь нужно учитывать объем первого сосуда ( V = V ), где концентрация молекул ( n_1 = 6 \times 10^{24} \, \text{м}^{-3} ).
Используя уравнение состояния для первого сосуда: [ p_1 V = n_1 k_B T ] [ p_1 = \frac{n_1 k_B T}{V} ]
Теперь мы можем связать эти уравнения и найти концентрацию молекул ( n_2 ) во втором сосуде: [ n_2 = \frac{p_2 \cdot 0.5V}{k_B T} = \frac{3 \times 1.013 \times 10^5 \cdot 0.5V}{k_B T} = \frac{1.5 \times 10^5 \cdot V}{k_B T} ]
Б) Чему равно давление газа в первом сосуде?
Используем уравнение состояния для первого сосуда: [ p_1 V = n_1 k_B T ] [ p_1 = \frac{n_1 k_B T}{V} ]
В) Чему равен объем первого сосуда?
Для определения объема первого сосуда нужно использовать информацию о том, что ( m_1 = 4 \, \text{г} ) водорода, ( n_1 = 6 \times 10^{24} \, \text{м}^{-3} ):
Масса молекулы водорода ( m_{\text{H2}} = 2 \times 1.67 \times 10^{-27} \, \text{кг} ): [ N = \frac{m1}{m{\text{H2}}} = \frac{4 \times 10^{-3} \, \text{кг}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \, \text{кг}} \approx 1.2 \times 10^{24} \, \text{молекул} ]
Используя концентрацию: [ n_1 = \frac{N}{V} ] [ V = \frac{N}{n_1} \approx \frac{1.2 \times 10^{24}}{6 \times 10^{24}} = 0.2 \, \text{м}^3 ]
Г) Чему равна средняя кинетическая энергия молекул газов?
Средняя кинетическая энергия молекул для обоих сосудов одинакова и определяется по формуле: [ \langle E_{\text{kin}} \rangle = \frac{3}{2} k_B T ]
Д) Во сколько раз отличаются средние скорости теплового движения молекул в сосудах?
Средняя скорость теплового движения молекул: [ \langle v \rangle = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}} ]
Для водорода (( H_2 )): [ \langle v_1 \rangle = \sqrt{\frac{3kB T}{m{\text{H2}}}} ]
Для гелия (( He )): [ \langle v_2 \rangle = \sqrt{\frac{3kB T}{m{\text{He}}}} ]
Отношение средних скоростей: [ \frac{\langle v_1 \rangle}{\langle v2 \rangle} = \sqrt{\frac{m{\text{He}}}{m_{\text{H2}}}} = \sqrt{\frac{4 \times 1.67 \times 10^{-27} \, \text{кг}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \, \text{кг}}} = \sqrt{2} \approx 1.41 ]
Следовательно, средняя скорость молекул водорода в 1.41 раза больше, чем у молекул гелия.
A) Для второго сосуда концентрация молекул будет равна n2 = n1 V2 / V1 = 6х10^24 м-3 0,5V / V = 3х10^24 м-3.
B) Давление газа в первом сосуде можно найти по формуле идеального газа: P = n k T / V, где n - количество молекул газа, k - постоянная Больцмана, T - температура газа, V - объем сосуда. Поскольку средние кинетические энергии молекул газов одинаковы, то и температуры газов также равны. Получаем P1 = P2.
C) Объем первого сосуда равен V.
D) Средняя кинетическая энергия молекул газов вычисляется по формуле: E = 3/2 k T, где k - постоянная Больцмана, T - температура газа. Поскольку температуры газов одинаковы, то и средние кинетические энергии молекул равны.
E) Средние скорости теплового движения молекул в сосудах отличаются в корне из отношения масс молекул: v1 / v2 = sqrt(m2 / m1) = sqrt(2г / 4г) = 1 / sqrt(2) ≈ 0,707. То есть средняя скорость молекул в первом сосуде на 1/√2 или примерно на 0,707 раз выше, чем во втором сосуде.
