Средняя плотность планеты Плюк равна средней плотности планеты Земля, а радиус Плюка в два раза больше радиуса Земли. Во сколько раз первая космическая скорость для Плюка больше, чем для Земли?
Средняя плотность планеты Плюк равна средней плотности планеты Земля, а радиус Плюка в два раза больше радиуса Земли. Во сколько раз первая космическая скорость для Плюка больше, чем для Земли?
Первая космическая скорость для планеты Плюк будет в 1.4 раза больше, чем для Земли.
Первая космическая скорость (v1) — это минимальная скорость, которую должен иметь объект, чтобы стать спутником планеты, двигаясь по круговой орбите у её поверхности. Формула для первой космической скорости выглядит следующим образом:
[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}, ]
где:
Нас интересует, как изменяется первая космическая скорость при изменении радиуса планеты, при условии, что средняя плотность остаётся постоянной. Средняя плотность (( \rho )) планеты определяется как:
[ \rho = \frac{M}{V}, ]
где ( V ) — объём планеты. Для сферической планеты:
[ V = \frac{4}{3} \pi R^3. ]
Тогда масса планеты ( M ) может быть выражена через плотность и объём:
[ M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3. ]
Подставим это выражение массы в формулу первой космической скорости:
[ v_1 = \sqrt{\frac{G (\rho \frac{4}{3} \pi R^3)}{R}} = \sqrt{G \rho \frac{4}{3} \pi R^2}. ]
Так как ( \frac{4}{3} \pi ) и ( G ) — это константы, можно написать:
[ v_1 \prosto R \sqrt{\rho}. ]
Теперь рассмотрим две планеты: Землю и Плюк. Пусть радиус Земли — ( R{\text{Земля}} ), а радиус Плюка — ( R{\text{Плюк}} = 2R_{\text{Земля}} ).
Средняя плотность обеих планет равна, то есть ( \rho{\text{Плюк}} = \rho{\text{Земля}} ).
Теперь сравним первую космическую скорость для Плюка и Земли:
[ v{1, \text{Плюк}} = \sqrt{G \rho{\text{Плюк}} \frac{4}{3} \pi (2R{\text{Земля}})^2} = \sqrt{G \rho{\text{Земля}} \frac{4}{3} \pi 4R{\text{Земля}}^2} = 2 \sqrt{G \rho{\text{Земля}} \frac{4}{3} \pi R{\text{Земля}}^2} = 2 v{1, \text{Земля}}. ]
Таким образом, первая космическая скорость для Плюка в два раза больше, чем для Земли.
Средняя плотность планеты определяется как отношение массы планеты к её объёму. Поскольку плотность Плюка равна плотности Земли, то отношение их масс к объёмам одинаково. Обозначим массу Земли как M_земли, массу Плюка как M_плюка, радиус Земли как R_земли и радиус Плюка как R_плюка.
Так как объём планеты пропорционален кубу радиуса, то отношение объёмов планет Плюка и Земли равно (R_плюка/R_земли)^3 = 2^3 = 8.
Так как плотность равна массе, делённой на объём, то отношение масс планет Плюка и Земли равно M_плюка/M_земли = 8.
Согласно формуле для первой космической скорости, она пропорциональна квадратному корню из массы планеты и обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса планеты. Таким образом, первая космическая скорость для Плюка будет в √8 = 2.83 раза больше, чем для Земли.
