Шарик массой m=40 мг, зарядом q=1нКл, движется со скоростью v=10 см/с. На какое расстояние он сможет...

Для решения данной задачи мы будем использовать закон сохранения энергии и формулу для электрического поля.

Шарик с зарядом ( q ) находится в электрическом поле другого заряда ( q_0 ). Это поле создается зарядом ( q_0 ), и его напряженность на расстоянии ( r ) от ( q_0 ) можно выразить через закон Кулона:

[ E = \frac{k \cdot |q_0|}{r^2} ]

где ( k ) — это электростатическая постоянная, ( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н м}^2/\text{Кл}^2 ).

Энергия, которую имеет шарик с зарядом ( q ) в электрическом поле, может быть представлена как потенциальная энергия ( U ):

[ U = q \cdot V ]

где ( V ) — это потенциал электрического поля, который можно выразить как:

[ V = \frac{k \cdot q_0}{r} ]

Следовательно, потенциальная энергия будет:

[ U = q \cdot \frac{k \cdot q_0}{r} ]

Шарик также имеет кинетическую энергию ( K ):

[ K = \frac{1}{2} m v^2 ]

где ( m ) — масса шарика, а ( v ) — его скорость.

На начальном этапе, когда шарик находится на расстоянии ( r_0 ) от заряда ( q_0 ), его полная механическая энергия будет равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

[ E_{\text{total}} = K + U ]

При приближении шарика к заряду ( q0 ) его скорость будет уменьшаться, и в какой-то момент он остановится на расстоянии ( r{\text{min}} ) от заряда ( q_0 ). В этом моменте его кинетическая энергия станет равной нулю, и вся энергия перейдет в потенциальную:

[ \frac{1}{2} m v^2 + q \cdot \frac{k \cdot q_0}{r_0} = q \cdot \frac{k \cdot q0}{r{\text{min}}} ]

Выразим ( r_{\text{min}} ):

1. Подставим значения: ( m = 40 \, \text{мг} = 40 \times 10^{-6} \, \text{кг} ), ( q = 1 \, \text{нКл} = 1 \times 10^{-9} \, \text{Кл} ), ( q_0 = 1.33 \, \text{нКл} = 1.33 \times 10^{-9} \, \text{Кл} ), ( v = 10 \, \text{см/с} = 0.1 \, \text{м/с} ).

2. Найдем кинетическую энергию:

[ K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot (40 \times 10^{-6}) \cdot (0.1)^2 = 2 \times 10^{-6} \, \text{Дж} ]

1. Теперь подставим в уравнение:

[ 2 \times 10^{-6} + \frac{(1 \times 10^{-9}) \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1.33 \times 10^{-9})}{r0} = \frac{(1 \times 10^{-9}) \cdot (8.99 \times 10^9) \cdot (1.33 \times 10^{-9})}{r{\text{min}}} ]

Предположим, что шарик стартует на расстоянии ( r_0 ) от ( q0 ). Если известна начальная дистанция, то можно получить конкретное значение для ( r{\text{min}} ).

Таким образом, поскольку не указано начальное расстояние ( r0 ), мы не можем определить точное расстояние ( r{\text{min}} ). Но формула показывает, что шарик сможет приблизиться к заряду на определенное расстояние, в зависимости от начального расстояния и энергии, которая у него есть.

Важно отметить, что если шарик приблизится слишком близко к заряду ( q_0 ), то на него будет действовать сильная сила отталкивания (если заряды одноименные) и он не сможет достичь этой точки, а будет отталкиваться.

Давайте решим задачу. Здесь рассматривается взаимодействие двух зарядов с учетом кинетической энергии шарика и потенциальной энергии взаимодействия между зарядами. Дано:

• Масса шарика ( m = 40 \, \text{мг} = 40 \times 10^{-6} \, \text{кг} ),
• Заряд шарика ( q = 1 \, \text{нКл} = 10^{-9} \, \text{Кл} ),
• Начальная скорость шарика ( v = 10 \, \text{см/с} = 0,1 \, \text{м/с} ),
• Заряд неподвижного объекта ( q_0 = 1,33 \, \text{нКл} = 1,33 \times 10^{-9} \, \text{Кл} ).

Цель: найти минимальное расстояние ( r_{\text{min}} ), на которое шарик сможет приблизиться к заряду ( q_0 ).

1. Анализ задачи

Заряженный шарик ( q ), движущийся со скоростью ( v ), обладает кинетической энергией. При приближении к заряду ( q_0 ) кинетическая энергия начнет переходить в потенциальную энергию электростатического взаимодействия, что будет замедлять шарик. В момент максимального приближения к ( q_0 ) скорость шарика станет равной нулю, и вся его кинетическая энергия превратится в потенциальную энергию. После этого шарик начнет двигаться в обратном направлении.

Энергетический баланс: [ E{\text{кинетическая}} = E{\text{потенциальная}} ]

Формулы для энергии:

• Кинетическая энергия шарика: [ E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} m v^2 ]
• Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов: [ E_{\text{потенциальная}} = k \frac{q q_0}{r}, ] где ( k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 ) — константа электростатического взаимодействия, а ( r ) — расстояние между зарядами.

Таким образом, при максимальном приближении: [ \frac{1}{2} m v^2 = k \frac{q q0}{r{\text{min}}}. ]

2. Выразим ( r_{\text{min}} )

Из уравнения выше: [ r_{\text{min}} = k \frac{q q_0}{\frac{1}{2} m v^2}. ]

Подставим известные значения: [ k = 9 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2, ] [ q = 1 \times 10^{-9} \, \text{Кл}, \quad q_0 = 1,33 \times 10^{-9} \, \text{Кл}, ] [ m = 40 \times 10^{-6} \, \text{кг}, \quad v = 0,1 \, \text{м/с}. ]

Сначала найдем кинетическую энергию шарика: [ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \times 10^{-6} \cdot (0,1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \times 10^{-6} \cdot 0,01 = 2 \times 10^{-6} \, \text{Дж}. ]

Теперь вычислим ( r{\text{min}} ): [ r{\text{min}} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{(1 \times 10^{-9}) \cdot (1,33 \times 10^{-9})}{2 \times 10^{-6}}. ]

Посчитаем числитель: [ (1 \times 10^{-9}) \cdot (1,33 \times 10^{-9}) = 1,33 \times 10^{-18}. ]

Теперь подставим: [ r_{\text{min}} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{1,33 \times 10^{-18}}{2 \times 10^{-6}}. ]

Посчитаем дробь внутри: [ \frac{1,33 \times 10^{-18}}{2 \times 10^{-6}} = 0,665 \times 10^{-12} = 6,65 \times 10^{-13}. ]

И, наконец: [ r_{\text{min}} = 9 \times 10^9 \cdot 6,65 \times 10^{-13} = 59,85 \times 10^{-4} = 5,985 \times 10^{-3} \, \text{м}. ]

3. Ответ

Минимальное расстояние, на которое шарик сможет приблизиться к заряду, равно: [ r_{\text{min}} \approx 6,0 \, \text{мм}. ]