Шарик массой m = 10 г совершает гармонические колебания с ампли¬тудой А = 20 см и периодом Т = 4 с (пружинный...

Для нахождения кинетической энергии в момент времени t = 1 с необходимо использовать формулу для кинетической энергии в гармонических колебаниях:

Eк1 = 1/2 m (2π / T)² (A² - х₀²) sin²(2πt / T)

Подставляем известные значения:

m = 10 г = 0,01 кг A = 20 см = 0,2 м T = 4 с х₀ = A = 0,2 м t = 1 с

Eк1 = 1/2 0,01 (2π / 4)² (0,2² - 0,2²) sin²(2π * 1 / 4) Eк1 = 0

Таким образом, кинетическая энергия в момент времени t = 1 с равна 0.

Чтобы найти кинетическую энергию шарика в момент времени ( t = 1 ) с, необходимо использовать уравнения гармонических колебаний и законы сохранения энергии.

Для гармонических колебаний смещение ( x(t) ) шарика в любой момент времени ( t ) описывается уравнением:

[ x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t + \varphi_0\right), ]

где:

• ( A = 20 ) см — амплитуда колебаний,
• ( T = 4 ) с — период колебаний,
• ( \varphi_0 ) — начальная фаза.

В условии сказано, что в момент времени ( t_0 = 0 ) смещение ( x_0 = A ). Это означает, что начальная фаза ( \varphi_0 = 0 ), так как ( \cos(0) = 1 ).

Поэтому уравнение движения можно записать как:

[ x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right). ]

Теперь найдем смещение в момент времени ( t = 1 ) с:

[ x(1) = 20 \, \text{см} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{4} \cdot 1\right) = 20 \, \text{см} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 20 \, \text{см} \cdot 0 = 0 \, \text{см}. ]

Таким образом, в момент времени ( t = 1 ) с шарик проходит через положение равновесия, где его потенциальная энергия минимальна (нулевая), а кинетическая энергия максимальна.

Полная механическая энергия ( E ) пружинного маятника сохраняется и равна сумме кинетической и потенциальной энергии. Для максимальной потенциальной энергии, которая соответствует положению ( x = A ), она равна:

[ E = \frac{1}{2} k A^2, ]

где ( k ) — жесткость пружины.

В момент времени ( t = 1 ) с, вся энергия переходит в кинетическую, так что:

[ E_k = E = \frac{1}{2} k A^2. ]

Для нахождения жесткости пружины ( k ) используем формулу периода пружинного маятника:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}. ]

Отсюда выражаем ( k ):

[ k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}. ]

Подставляем численные значения (переведя массу ( m = 10 ) г в килограммы ( m = 0.01 ) кг):

[ k = \frac{4\pi^2 \cdot 0.01}{4^2} = \frac{0.04\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{400}. ]

Теперь найдем кинетическую энергию:

[ E_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{400} \cdot (0.2)^2 = \frac{\pi^2}{400} \cdot 0.02 = \frac{\pi^2}{20000}. ]

Вычислим численное значение:

[ \pi^2 \approx 9.87. ]

[ E_k \approx \frac{9.87}{20000} \approx 0.0004935 \, \text{Дж}. ]

Таким образом, кинетическая энергия шарика в момент времени ( t = 1 ) с составляет примерно ( 0.0004935 ) Дж.

Для нахождения кинетической энергии шарика в момент времени t = 1 с необходимо воспользоваться уравнением гармонических колебаний.

Уравнение гармонических колебаний для пружинного маятника имеет вид x(t) = A * cos(2πt/T), где x(t) - смещение шарика в момент времени t, A - амплитуда колебаний, t - время, T - период колебаний.

Из условия задачи мы знаем, что в момент времени t = 0 смещение шарика равно x0 = A = 20 см. Таким образом, x(0) = 20 см.

Для нахождения кинетической энергии в момент времени t = 1 с необходимо найти скорость шарика в этот момент времени. Для этого продифференцируем уравнение гармонических колебаний по времени:

v(t) = -2πA/T * sin(2πt/T)

Подставляем t = 1 с:

v(1) = -2π 20 / 4 sin(2π/4) = -10π см/с

Теперь найдем кинетическую энергию шарика в момент времени t = 1 с:

Eк = m * v^2 / 2

Eк(1) = 10 * (-10π)^2 / 2 ≈ 1570,8 мкДж

Таким образом, кинетическая энергия шарика в момент времени t = 1 с составляет примерно 1570,8 мкДж.