Шайба массой m1 = 0,1 кг скользит по гладкому горизонтальному столу со скоростью v1 = 2 м/с. Навстречу...

Кинетическая энергия первой шайбы изменится в 4 раза в результате соударения.

Для решения этой задачи необходимо учитывать законы сохранения импульса и кинетической энергии, так как удар абсолютно упругий.

1. Сохранение импульса.

   В системе отсчета, в которой шайбы движутся до и после соударения, суммарный импульс системы должен оставаться постоянным. Для двух шайб это записывается следующим образом:

   [ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' ]

   где ( v_1' ) и ( v_2' ) — скорости шайб после удара.

2. Сохранение кинетической энергии.

   В случае абсолютно упругого удара суммарная кинетическая энергия до и после соударения также сохраняется:

   [ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2 ]

3. Рассмотрим систему уравнений.

   Подставим известные значения масс и скоростей:

   [ m_1 = 0,1 \, \text{кг}, \quad v_1 = 2 \, \text{м/с} ] [ m_2 = 0,2 \, \text{кг}, \quad v_2 = 1 \, \text{м/с} ]

   Получаем систему уравнений:

   [ 0,1 \cdot 2 + 0,2 \cdot 1 = 0,1 v_1' + 0,2 v_2' ] [ 0,2 + 0,2 = 0,1 v_1' + 0,2 v_2' \quad \Rightarrow \quad 0,2 + 0,2 = 0,1 v_1' + 0,2 v_2' ] [ 0,4 = 0,1 v_1' + 0,2 v_2' ]

   и

   [ \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot 2^2 + \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot v_1'^2 + \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot v_2'^2 ] [ 0,2 + 0,1 = 0,05 v_1'^2 + 0,1 v_2'^2 ] [ 0,3 = 0,05 v_1'^2 + 0,1 v_2'^2 ]

4. Решение системы уравнений.

   Умножим первое уравнение на 10 для упрощения:

   [ 4 = v_1' + 2 v_2' ]

   Второе уравнение умножим на 10 для упрощения:

   [ 3 = 0,5 v_1'^2 + v_2'^2 ]

   Теперь выразим ( v_1' ) из первого уравнения и подставим во второе:

   [ v_1' = 4 - 2 v_2' ]

   Подставим ( v_1' ) во второе уравнение:

   [ 3 = 0,5 (4 - 2 v_2')^2 + v_2'^2 ] [ 3 = 0,5 (16 - 16 v_2' + 4 v_2'^2) + v_2'^2 ] [ 3 = 0,5 \cdot 16 - 0,5 \cdot 16 v_2' + 0,5 \cdot 4 v_2'^2 + v_2'^2 ] [ 3 = 8 - 8 v_2' + 2 v_2'^2 + v_2'^2 ] [ 3 = 8 - 8 v_2' + 3 v_2'^2 ] [ 3 v_2'^2 - 8 v_2' + 5 = 0 ]

   Решим квадратное уравнение:

   [ v_2' = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \frac{8 \pm 2}{6} ]

   Получаем два корня:

   [ v_2' = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1,67 \, \text{м/с} ] [ v_2' = \frac{6}{6} = 1 \, \text{м/с} ]

   Подставим ( v_2' = 1 \, \text{м/с} ) в первое уравнение:

   [ v_1' = 4 - 2 \cdot 1 = 2 \, \text{м/с} ]

   Однако это не подходит, так как ( v_1' \neq v_1 ).

   Подставим ( v_2' = \frac{5}{3} \, \text{м/с} ):

   [ v_1' = 4 - 2 \cdot \frac{5}{3} = 4 - \frac{10}{3} = \frac{12}{3} - \frac{10}{3} = \frac{2}{3} \, \text{м/с} ]

5. Изменение кинетической энергии первой шайбы.

   До удара:

   [ E_{k1} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot 2^2 = 0,2 \, \text{Дж} ]

   После удара:

   [ E_{k1}' = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0,1 \cdot 4}{9} = \frac{0,4}{18} = \frac{1}{45} \approx 0,022 \, \text{Дж} ]

   Изменение кинетической энергии первой шайбы:

   [ \Delta E{k1} = \frac{E{k1}'}{E_{k1}} = \frac{0,022}{0,2} = \frac{2,2}{20} = 0,11 ]

Таким образом, кинетическая энергия первой шайбы уменьшилась примерно в 9 раз.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться законами сохранения энергии и импульса.

Из закона сохранения импульса получаем, что суммарный импульс системы шайб до удара равен суммарному импульсу после удара: m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'

Где v1' и v2' - скорости шайб после удара.

Из закона сохранения энергии получаем, что кинетическая энергия системы шайб до удара равна кинетической энергии после удара: (1/2)m1v1^2 + (1/2)m2v2^2 = (1/2)m1v1'^2 + (1/2)m2v2'^2

Из этих уравнений можно найти значения v1' и v2', после чего вычислить изменение кинетической энергии первой шайбы: ΔK = (1/2)m1v1'^2 - (1/2)m1v1^2

Подставив найденные значения, можно рассчитать во сколько раз изменится кинетическая энергия первой шайбы в результате соударения.