С какой начальной скоростью нужно бросить вниз мяч, находящийся на высоте 15 м, чтобы он подпрыгнул...

Для того чтобы мяч подпрыгнул на вдвое большую высоту, его начальная скорость должна быть равна скорости, с которой он упал бы с высоты вдвое меньшей (7.5 м). По формуле скорости свободного падения v = √(2gh), где g - ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²), h - высота падения, получаем, что начальная скорость должна быть равна примерно 15.33 м/с.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться законами сохранения энергии. Пусть мяч бросается с начальной скоростью (v_0) со средней высоты (h_1 = 15 \, \text{м}) и подпрыгивает до высоты (h_2 = 2h_1 = 30 \, \text{м}). Тогда энергия мяча в начальный момент времени будет равна кинетической энергии плюс потенциальной энергии:

[E_1 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_1]

где (m) - масса мяча, (g) - ускорение свободного падения.

Энергия мяча в момент его максимальной высоты будет равна потенциальной энергии:

[E_2 = mgh_2]

Поскольку удар считается абсолютно упругим, энергия сохраняется, то есть (E_1 = E_2). Подставляя выражения для (E_1) и (E_2), получаем:

[\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_1 = mgh_2]

[v_0^2 = 2g(h_2 - h_1)]

[v_0 = \sqrt{2g(h_2 - h_1)}]

Подставляя значения (g = 9.81 \, \text{м/c}^2), (h_1 = 15 \, \text{м}) и (h_2 = 30 \, \text{м}), получаем:

[v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot (30 - 15)} \approx 19.62 \, \text{м/c}]

Таким образом, чтобы мяч подпрыгнул на вдвое большую высоту, его нужно бросить вниз со скоростью около (19.62 \, \text{м/с}).

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться законами сохранения энергии.

1. Законы сохранения энергии:

   • В момент броска мяча вниз, он обладает начальной кинетической энергией ( E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v0^2 ) и потенциальной энергией ( E{\text{пот}} = mgh_1 ), где ( h_1 = 15 ) м — начальная высота, ( m ) — масса мяча, ( v_0 ) — начальная скорость броска, и ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно 9.81 м/с²).
   • При ударе об землю (поскольку удар абсолютно упругий) вся кинетическая энергия, накопленная при падении, преобразуется в потенциальную энергию на максимальной высоте ( h_2 ).

2. Энергия на максимальной высоте после прыжка:

   • Если мяч подпрыгивает на высоту ( h2 = 2 \times 15 = 30 ) м, то его потенциальная энергия на этой высоте будет равна ( E{\text{пот_макс}} = mg h_2 ).

3. Сохранение энергии:

   • Согласно закону сохранения механической энергии для упругого удара, полная энергия в начальной точке (сумма кинетической и потенциальной) равна полной энергии в точке максимального подъема после удара: [ \frac{1}{2} m v_0^2 + mgh_1 = mgh_2 ]

4. Упрощение уравнения:

   • Сократим массу ( m ) и подставим значения для ( h_1 ) и ( h_2 ): [ \frac{1}{2} v_0^2 + g \times 15 = g \times 30 ]

5. Решение уравнения:

   • Упростим уравнение: [ \frac{1}{2} v_0^2 = g \times (30 - 15) = 15g ]
   • Умножим обе стороны на 2: [ v_0^2 = 30g ]
   • Найдем ( v_0 ): [ v_0 = \sqrt{30g} ]

6. Подстановка значений:

   • Подставим значение ( g = 9.81 ) м/с²: [ v_0 = \sqrt{30 \times 9.81} \approx \sqrt{294.3} \approx 17.16 \text{ м/с} ]

Таким образом, начальная скорость, с которой нужно бросить мяч вниз, чтобы он подпрыгнул на высоту 30 метров, составляет приблизительно 17.16 м/с.