С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч массой 200 г с высоты 3 м, ЧТОБЫ ОН ПОДПРЫГНУЛ НА...

Для того чтобы мяч подпрыгнул на высоту 8 м, необходимо, чтобы его кинетическая энергия при ударе о землю была достаточной для того, чтобы преодолеть гравитационный потенциал на высоту 8 м.

Первоначально мяч имеет только потенциальную энергию, которая равна mgh, где m - масса мяча, g - ускорение свободного падения, h - высота, с которой мяч бросается.

После падения на землю мяч начинает двигаться вверх и его кинетическая энергия становится равной его потенциальной энергии на высоте 8 м. То есть, мгновенно после удара о землю кинетическая энергия мяча равна mgh.

Найдем начальную скорость мяча, при которой он будет подпрыгивать на высоту 8 м. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии:

Потенциальная энергия + Кинетическая энергия = Потенциальная энергия

mgh + 0 (после удара о землю) = 0 + mgh

Отсюда следует, что начальная скорость мяча должна быть равна нулю. То есть, чтобы мяч подпрыгнул на высоту 8 м, его нужно просто отпустить с высоты 8 м.

Для того, чтобы мяч подпрыгнул на высоту 8 м, начальная скорость броска должна быть равна 14 м/с.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассматривать законы сохранения энергии и свойства абсолютно упругого удара. В случае абсолютно упругого удара механическая энергия сохраняется, то есть кинетическая энергия до удара равна кинетической энергии после удара.

1. Энергия при подъеме на высоту 8 м

Когда мяч поднимается на высоту 8 м после удара, вся его кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию. Потенциальная энергия на высоте ( h = 8 ) м равна:

[ E_{\text{пот}} = mgh ]

где

• ( m = 0.2 ) кг (масса мяча),
• ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ) (ускорение свободного падения),
• ( h = 8 ) м (высота).

Подставим значения:

[ E_{\text{пот}} = 0.2 \times 9.8 \times 8 = 15.68 \, \text{Дж} ]

2. Кинетическая энергия перед ударом о землю

Эта потенциальная энергия должна была быть кинетической энергией в момент, когда мяч только что отскочил от земли. Поскольку удар абсолютно упругий, кинетическая энергия мяча перед ударом о землю будет равна кинетической энергии сразу после удара. Таким образом, перед ударом о землю мяч должен обладать кинетической энергией ( 15.68 \, \text{Дж} ).

Кинетическая энергия выражается как:

[ E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2} ]

Решая это уравнение для скорости ( v ), получаем:

[ 15.68 = \frac{0.2 \times v^2}{2} ]

[ 31.36 = 0.2 \times v^2 ]

[ v^2 = \frac{31.36}{0.2} = 156.8 ]

[ v = \sqrt{156.8} \approx 12.52 \, \text{м/с} ]

3. Начальная скорость мяча

Теперь учтем, что мяч был брошен вниз с высоты 3 м. Его начальная кинетическая энергия будет дополнительно увеличена за счет потенциальной энергии на высоте 3 м.

Потенциальная энергия на высоте 3 м:

[ E_{\text{пот, нач}} = mgh_0 = 0.2 \times 9.8 \times 3 = 5.88 \, \text{Дж} ]

Суммарная энергия при броске вниз составляет:

[ E{\text{сум}} = E{\text{кин, нач}} + E_{\text{пот, нач}} = \frac{0.2 \times v_0^2}{2} + 5.88 ]

Эта энергия должна равняться кинетической энергии перед ударом:

[ \frac{0.2 \times v_0^2}{2} + 5.88 = 15.68 ]

Решим это уравнение для начальной скорости ( v_0 ):

[ \frac{0.2 \times v_0^2}{2} = 15.68 - 5.88 ]

[ \frac{0.2 \times v_0^2}{2} = 9.8 ]

[ 0.2 \times v_0^2 = 19.6 ]

[ v_0^2 = \frac{19.6}{0.2} = 98 ]

[ v_0 = \sqrt{98} \approx 9.9 \, \text{м/с} ]

Таким образом, начальная скорость, с которой мяч должен быть брошен вниз, составляет приблизительно ( 9.9 \, \text{м/с} ).