При давлении p = 2*10^6 Па идеальный газ занимает объем V = 5 литров. В результате изотермического расширения...

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

[ pV = Nk_BT, ]

где:

• ( p ) — давление газа,
• ( V ) — объем газа,
• ( N ) — число молекул газа,
• ( k_B ) — постоянная Больцмана (( k_B = 1,38 \cdot 10^{-23} \, \text{Дж/К} )),
• ( T ) — температура газа.

Также нам дана концентрация молекул ( n ), которая связана с числом молекул ( N ) через объем ( V ):

[ n = \frac{N}{V}. ]

Отсюда число молекул ( N ) равно:

[ N = nV. ]

Дано:

• ( p = 2 \cdot 10^6 \, \text{Па} ),
• начальный объем ( V_1 = 5 \, \text{л} = 5 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 ),
• конечный объем ( V_2 = 6 \, \text{л} = 6 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3 ),
• концентрация молекул в конце процесса ( n = 3{,}62 \cdot 10^{26} \, \text{м}^{-3} ).

Так как процесс изотермический, температура ( T ) остается постоянной. Значит, мы можем использовать данные из любого состояния для нахождения температуры.

Шаг 1. Найдем число молекул ( N ) в конечном состоянии

Используем формулу ( N = nV_2 ):

[ N = (3{,}62 \cdot 10^{26}) \cdot (6 \cdot 10^{-3}) = 2{,}172 \cdot 10^{24} \, \text{молекул}. ]

Шаг 2. Подставим данные в уравнение состояния

Используем уравнение состояния ( pV = Nk_BT ) для любого состояния. Подставим данные из конечного состояния:

[ pV_2 = Nk_BT. ]

Выразим температуру ( T ):

[ T = \frac{pV_2}{Nk_B}. ]

Подставим значения:

[ T = \frac{(2 \cdot 10^6) \cdot (6 \cdot 10^{-3})}{(2{,}172 \cdot 10^{24}) \cdot (1{,}38 \cdot 10^{-23})}. ]

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

• Числитель: ( (2 \cdot 10^6) \cdot (6 \cdot 10^{-3}) = 12 \cdot 10^3 = 1,2 \cdot 10^4 \, \text{Па} \cdot \text{м}^3 ),
• Знаменатель: ( (2{,}172 \cdot 10^{24}) \cdot (1{,}38 \cdot 10^{-23}) = 2{,}998 \cdot 10^1 = 29,98 ).

Теперь найдем ( T ):

[ T = \frac{1,2 \cdot 10^4}{29,98} \approx 400 \, \text{К}. ]

Ответ:

Температура, при которой протекал процесс, равна ( T \approx 400 \, \text{К} ).

Чтобы определить температуру, при которой протекало изотермическое расширение идеального газа, нужно воспользоваться уравнением состояния идеального газа:

[ PV = nRT, ]

где:

• ( P ) — давление (в Паскалях),
• ( V ) — объем (в кубических метрах),
• ( n ) — количество молей газа,
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} )),
• ( T ) — температура (в Кельвинах).

Шаг 1: Определение объема после расширения

Исходный объем ( V_1 = 5 \, \text{л} = 5 \times 10^{-3} \, \text{м}^3 ). Объем после расширения ( V_2 = V_1 + 1 \, \text{л} = 5 \times 10^{-3} \, \text{м}^3 + 1 \times 10^{-3} \, \text{м}^3 = 6 \times 10^{-3} \, \text{м}^3 ).

Шаг 2: Определение количества молекул

Концентрация молекул газа ( n = 3.62 \times 10^{26} \, \text{м}^{-3} ). Общее количество молекул ( N ) можно найти по формуле:

[ N = n \cdot V_2, ]

где ( V_2 ) — объем после расширения.

Подставим значения:

[ N = 3.62 \times 10^{26} \, \text{м}^{-3} \cdot 6 \times 10^{-3} \, \text{м}^3 = 2.172 \times 10^{24} \, \text{молекул}. ]

Шаг 3: Определение количества молей газа

Чтобы перейти от количества молекул к количеству молей, используем число Авогадро ( N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль} ):

[ n = \frac{N}{N_A} = \frac{2.172 \times 10^{24}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.61 \, \text{моль}. ]

Шаг 4: Подставляем значения в уравнение состояния

Теперь можем подставить известные значения в уравнение состояния газа:

[ P = 2 \times 10^6 \, \text{Па}, ] [ V = 6 \times 10^{-3} \, \text{м}^3, ] [ n \approx 3.61 \, \text{моль}. ]

Подставляем в уравнение:

[ 2 \times 10^6 \cdot 6 \times 10^{-3} = 3.61 \cdot 8.314 \cdot T. ]

Шаг 5: Решение уравнения

Сначала вычислим левую часть:

[ 2 \times 10^6 \cdot 6 \times 10^{-3} = 12000 \, \text{Дж}. ]

Теперь подставим и решим для ( T ):

[ 12000 = 3.61 \cdot 8.314 \cdot T. ]

Вычислим ( 3.61 \cdot 8.314 ):

[ 3.61 \cdot 8.314 \approx 30.06. ]

Теперь подставим в уравнение и решим для ( T ):

[ 12000 = 30.06 \cdot T, ] [ T = \frac{12000}{30.06} \approx 398.5 \, \text{К}. ]

Ответ

Температура, при которой протекал этот процесс, составляет примерно ( 398.5 \, \text{К} ).