Помогите решить задачу Шарик массой 200 г, закрепленный на пружине, жесткостью которой 0,2 кН/м, совершает...

Для решения задачи нам необходимо использовать основные законы гармонических колебаний и динамики.

1. Определение основных параметров:

   • Масса шарика ( m = 200 \, \text{г} = 0.2 \, \text{кг} ).
   • Жесткость пружины ( k = 0.2 \, \text{кН/м} = 200 \, \text{Н/м} ).
   • Амплитуда колебаний ( A = 1 \, \text{см} = 0.01 \, \text{м} ).

2. Найдем циклическую частоту колебаний:

   Циклическая частота ( \omega ) для гармонических колебаний определяется формулой: [ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} ] Подставляем известные значения: [ \omega = \sqrt{\frac{200}{0.2}} = \sqrt{1000} = 31.62 \, \text{рад/с} ]

3. Уравнение движения:

   Уравнение гармонического движения для смещения ( x(t) ) можно записать как: [ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) ] где (\phi) — начальная фаза. Для простоты можно принять (\phi = 0), если начальные условия не заданы.

4. Уравнение для ускорения:

   Ускорение ( a(t) ) является второй производной смещения по времени: [ a(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2} ] Для ( x(t) = A \cos(\omega t) ), первая производная: [ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A \omega \sin(\omega t) ] Вторая производная: [ a(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2} = -A \omega^2 \cos(\omega t) ] Таким образом, уравнение ускорения: [ a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t) ]

5. Наибольшее ускорение:

   Наибольшее значение ускорения достигается, когда (\cos(\omega t) = \pm 1). Тогда: [ a{\text{max}} = A \omega^2 ] Подставляем значения: [ a{\text{max}} = 0.01 \times (31.62)^2 = 0.01 \times 1000 = 10 \, \text{м/с}^2 ]

Таким образом, уравнение для ускорения в зависимости от времени и смещения: [ a(t) = -0.01 \times 1000 \cos(31.62 t) = -10 \cos(31.62 t) \, \text{м/с}^2 ] Наибольшее ускорение, которое достигается, равно 10 м/с².

Для того чтобы найти уравнение, выражающее зависимость ускорения от смещения, нам необходимо воспользоваться уравнением второго закона Ньютона для вибрирующей системы.

Уравнение второго закона Ньютона для данной системы можно записать в виде:

ma(t) = -kx(t)

где m - масса шарика (0.2 кг), a(t) - ускорение шарика в момент времени t, k - жесткость пружины (0.2 кН/м), x(t) - смещение шарика от положения равновесия в момент времени t.

Так как ускорение является второй производной смещения по времени, то уравнение принимает вид:

m d^2x/dt^2 = -kx

Подставляя данные в уравнение, получаем:

0.2 d^2x/dt^2 = -0.2 x

d^2x/dt^2 = -x

Таким образом, уравнение, выражающее зависимость ускорения от смещения, будет иметь вид a(t) = -x.

Наибольшее ускорение достигается в момент максимального смещения, которое равно амплитуде колебаний. Поскольку амплитуда равна 1 см (0.01 м), то наибольшее ускорение будет равно 0.01 м.

Уравнение зависимости ускорения от смещения: a(t) = -kx/m, где k - жесткость пружины, x - смещение, m - масса шарика. Наибольшее ускорение равно амплитуде умноженной на квадрат круговой частоты: a(max) = ω^2 A, где ω = √(k/m) - круговая частота, A - амплитуда колебаний. Подставляя значения, получаем: a(max) = (0.2 кН/м / 0.2 кг) (1 см) = 1 м/c^2.