Под каким углом нужно бросить тело, чтобы дальность полёта была в два раза больше максимальной высоты...

Для решения задачи найдем угол броска тела, при котором дальность полета будет в два раза больше максимальной высоты подъема. Начнем с основных формул и пошагово разберем процесс.

1. Основные формулы движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Обозначим:

• ( v_0 ) — начальная скорость тела;
• ( \theta ) — угол броска тела относительно горизонта;
• ( g ) — ускорение свободного падения;
• ( H_{\text{max}} ) — максимальная высота подъема;
• ( L ) — дальность полета.

Формулы для этих величин:

1. Максимальная высота подъема: [ H_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} ]
2. Дальность полета: [ L = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} ]

2. Условие задачи

По условию задачи дальность полета должна быть в два раза больше максимальной высоты: [ L = 2H_{\text{max}} ]

Подставим в это равенство выражения для ( L ) и ( H_{\text{max}} ): [ \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} = 2 \cdot \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} ]

Упростим: [ \frac{\sin 2\theta}{g} = \frac{\sin^2 \theta}{g} ]

Сократим ( g ) и ( v_0^2 ) (они не равны нулю): [ \sin 2\theta = 2\sin^2 \theta ]

3. Преобразование уравнения

Теперь разложим ( \sin 2\theta ) по формуле двойного угла: [ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta ]

Подставим это в уравнение: [ 2\sin\theta\cos\theta = 2\sin^2 \theta ]

Сократим на 2: [ \sin\theta\cos\theta = \sin^2 \theta ]

Разделим обе стороны на ( \sin\theta ) (при ( \sin\theta \neq 0 )): [ \cos\theta = \sin\theta ]

4. Решение тригонометрического уравнения

Уравнение ( \cos\theta = \sin\theta ) выполняется, когда: [ \tan\theta = 1 ]

Отсюда: [ \theta = 45^\circ ]

5. Проверка

Подставим ( \theta = 45^\circ ) в формулы для ( L ) и ( H_{\text{max}} ):

1. При ( \theta = 45^\circ ), ( \sin 2\theta = \sin 90^\circ = 1 ). Дальность: [ L = \frac{v_0^2}{g} ]

2. Максимальная высота: [ H_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \sin^2 45^\circ}{2g} = \frac{v_0^2 \cdot \frac{1}{2}}{2g} = \frac{v_0^2}{4g} ]

Проверим условие задачи ( L = 2H_{\text{max}} ): [ L = \frac{v0^2}{g}, \quad 2H{\text{max}} = 2 \cdot \frac{v_0^2}{4g} = \frac{v_0^2}{g} ]

Условие выполняется.

Ответ:

Тело нужно бросить под углом 45° к горизонту, чтобы дальность полета была в два раза больше максимальной высоты подъема.

Для решения задачи о том, под каким углом нужно бросить тело, чтобы дальность полета была в два раза больше максимальной высоты подъема, будем использовать основные уравнения кинематики и траектории движения.

1. Параметры движения

Обозначим:

• ( v_0 ) — начальная скорость броска,
• ( \theta ) — угол броска относительно горизонта,
• ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )).

2. Формулы максимальной высоты и дальности полета

Максимальная высота подъема ( H ) определяется по формуле: [ H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} ]

Дальность полета ( R ) (горизонтальная дальность) вычисляется по формуле: [ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} ]

3. Условие задачи

Согласно условию, дальность полета должна быть в два раза больше максимальной высоты: [ R = 2H ]

Подставим выражения для ( R ) и ( H ): [ \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = 2 \cdot \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} ]

Сократим ( \frac{v_0^2}{g} ) (при условии, что ( v_0 ) и ( g ) не равны нулю): [ \sin(2\theta) = 2 \sin^2 \theta ]

4. Преобразование уравнения

Используем тригонометрическую идентичность для ( \sin(2\theta) ): [ \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta ]

Тогда уравнение можно переписать как: [ 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin^2 \theta ]

Сократим на 2 (при условии, что ( \sin \theta ) не равен нулю): [ \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta ]

5. Деление на ( \sin \theta )

Разделим обе стороны на ( \sin \theta ) (при условии, что ( \sin \theta \neq 0 )): [ \cos \theta = \sin \theta ]

6. Определение угла

Это уравнение выполняется, когда: [ \tan \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = 45^\circ ]

7. Проверка условия задачи

Теперь проверим, действительно ли при угле ( 45^\circ ) выполняется условие о дальности и высоте.

1. Максимальная высота при ( \theta = 45^\circ ): [ H = \frac{v_0^2 \sin^2(45^\circ)}{2g} = \frac{v_0^2 \cdot \frac{1}{2}}{2g} = \frac{v_0^2}{4g} ]

2. Дальность полета при ( \theta = 45^\circ ): [ R = \frac{v_0^2 \sin(90^\circ)}{g} = \frac{v_0^2}{g} ]

Теперь проверим соотношение: [ R = 2H \quad \Rightarrow \quad \frac{v_0^2}{g} = 2 \cdot \frac{v_0^2}{4g} = \frac{v_0^2}{2g} ] Это равенство неверно. Давайте попробуем найти другой угол.

8. Решение уравнения

Возвращаясь к уравнению ( \sin(2\theta) = 2 \sin^2 \theta ), мы можем выразить ( \sin(2\theta) ) через ( \sin \theta ): [ \sin(2\theta) = 2 \sin^2 \theta ] Это уравнение также можно решить, используя известные значения углов.

9. Углы решения уравнения

Решая уравнение ( \tan \theta = \frac{1}{2} ), мы получаем: [ \theta = \tan^{-1}(0.5) \approx 26.57^\circ ]

10. Заключение

Таким образом, угол броска, при котором дальность полета будет в два раза больше максимальной высоты подъема, составляет примерно 26.57°.

Для решения задачи, давайте используем основные уравнения кинематики для движения тела, брошенного под углом.

Обозначим:

• ( R ) — дальность полёта,
• ( H ) — максимальная высота подъёма,
• ( \theta ) — угол броска.

Формула для дальности полёта тела, брошенного под углом ( \theta ), равна:

[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} ]

где ( v_0 ) — начальная скорость, ( g ) — ускорение свободного падения.

Максимальная высота подъёма выражается как:

[ H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} ]

Согласно условию задачи, дальность полёта должна быть в два раза больше максимальной высоты:

[ R = 2H ]

Подставляем уравнения для ( R ) и ( H ):

[ \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = 2 \cdot \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} ]

Упрощаем уравнение:

[ \sin(2\theta) = 2 \sin^2(\theta) ]

Используем известное тригонометрическое тождество ( \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) ):

[ 2 \sin(\theta) \cos(\theta) = 2 \sin^2(\theta) ]

Сокращаем на 2 (при условии, что ( \sin(\theta) \neq 0 )):

[ \sin(\theta) \cos(\theta) = \sin^2(\theta) ]

Делим обе стороны на ( \sin(\theta) ) (при условии, что ( \sin(\theta) \neq 0 )):

[ \cos(\theta) = \sin(\theta) ]

Это уравнение выполняется, когда:

[ \tan(\theta) = 1 \quad \Rightarrow \quad \theta = 45^\circ ]

Таким образом, угол броска, при котором дальность полёта тела будет в два раза больше максимальной высоты, равен ( 45^\circ ).