Определить полную кинетическую энергию при качении без скольжения cо скоростью v по плоской поверхности сплошного цилиндра, имеющего массу m
Определить полную кинетическую энергию при качении без скольжения cо скоростью v по плоской поверхности сплошного цилиндра, имеющего массу m
Для определения полной кинетической энергии при качении без скольжения цилиндра по плоской поверхности, нужно учесть как трансляционную, так и вращательную кинетическую энергию.
Кинетическая энергия трансляции выражается формулой: Kтр = (1/2)mv^2
Где: Kтр - кинетическая энергия трансляции цилиндра m - масса цилиндра v - скорость цилиндра
Кинетическая энергия вращения выражается формулой: Kвр = (1/2)Iω^2
Где: Kвр - кинетическая энергия вращения цилиндра I - момент инерции цилиндра ω - угловая скорость цилиндра
Для цилиндра момент инерции равен: I = (1/2)mr^2
Где: r - радиус цилиндра
Таким образом, полная кинетическая энергия цилиндра при качении без скольжения будет равна сумме трансляционной и вращательной кинетической энергий: Kполная = Kтр + Kвр
Kполная = (1/2)mv^2 + (1/2)(1/2)mr^2ω^2
Используя условие качения без скольжения, где скорость центра масс равна угловой скорости умноженной на радиус цилиндра (v = rω), можно переписать полную кинетическую энергию как: Kполная = (1/2)mv^2 + (1/4)mv^2
Kполная = (3/4)mv^2
Таким образом, полная кинетическая энергия цилиндра при качении без скольжения составляет три четверти от кинетической энергии трансляции.
Для определения полной кинетической энергии сплошного цилиндра, который катится без скольжения по плоской поверхности со скоростью ( v ), необходимо учитывать как поступательную, так и вращательную составляющие кинетической энергии.
Поступательная кинетическая энергия связана с движением центра массы цилиндра и выражается формулой: [ E_{\text{поступ}} = \frac{1}{2} m v^2 ] где:
Вращательная кинетическая энергия связана с вращением цилиндра вокруг его оси и выражается формулой: [ E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2 ] где:
Для сплошного цилиндра момент инерции относительно его оси симметрии равен: [ I = \frac{1}{2} m R^2 ] где ( R ) — радиус цилиндра.
При качении без скольжения существует связь между линейной скоростью ( v ) и угловой скоростью ( \omega ): [ v = \omega R ] или [ \omega = \frac{v}{R} ]
Подставим это выражение в формулу вращательной кинетической энергии: [ E{\text{вращ}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m R^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2 ] [ E{\text{вращ}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^2 \cdot \frac{v^2}{R^2} ] [ E_{\text{вращ}} = \frac{1}{4} m v^2 ]
Полная кинетическая энергия цилиндра — это сумма поступательной и вращательной кинетической энергии: [ E{\text{полная}} = E{\text{поступ}} + E{\text{вращ}} ] [ E{\text{полная}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4} m v^2 ] [ E_{\text{полная}} = \frac{3}{4} m v^2 ]
Таким образом, полная кинетическая энергия сплошного цилиндра, который катится без скольжения со скоростью ( v ), составляет: [ E_{\text{полная}} = \frac{3}{4} m v^2 ]
Полная кинетическая энергия при качении без скольжения цилиндра равна ( E = \frac{1}{2}mv^2 )
