Некоторый газ при температуре 91 и давлении 800кПа имеет плотность 5.4 кг/м^3. Найти массу одной молекулы...

Чтобы найти массу одной молекулы газа, сначала используем уравнение состояния идеального газа:

[ PV = nRT ]

где:

• ( P ) — давление (800 кПа = 800000 Па),
• ( V ) — объём (необходим для нахождения числа молей),
• ( n ) — количество молей,
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} )),
• ( T ) — температура (91 °C = 364 K).

Сначала найдем количество молей ( n ): [ n = \frac{PV}{RT} ]

Для нахождения объёма используем плотность: [ \rho = \frac{m}{V} ] где ( m ) — масса газа. Объем можно выразить как: [ V = \frac{m}{\rho} ]

Теперь подставим это в уравнение для количества молей: [ n = \frac{P \cdot \frac{m}{\rho}}{RT} ]

Масса ( m ) газа равна ( \rho V ). Подставляя это в уравнение, получаем: [ n = \frac{P \cdot \frac{\rho V}{\rho}}{RT} = \frac{PV}{RT} ]

Теперь, зная, что ( m = n \cdot M ) (где ( M ) — молярная масса), и используя ( \rho = \frac{m}{V} ): [ \rho = \frac{nM}{V} \Rightarrow M = \frac{\rho RT}{P} ]

Теперь подставим известные значения: [ M = \frac{5.4 \, \text{кг/м}^3 \cdot 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot 364 \, \text{K}}{800000 \, \text{Па}} ]

После вычислений: [ M \approx 0.0171 \, \text{кг/моль} = 17.1 \, \text{г/моль} ]

Теперь найдем массу одной молекулы: [ m_{\text{молекулы}} = \frac{M}{N_A} ] где ( N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль} ).

[ m_{\text{молекулы}} \approx \frac{0.0171 \, \text{кг/моль}}{6.022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль}} \approx 2.84 \times 10^{-25} \, \text{кг} ]

Таким образом, масса одной молекулы этого газа примерно равна ( 2.84 \times 10^{-25} \, \text{кг} ).

Для нахождения массы одной молекулы газа, нам нужно использовать уравнение состояния идеального газа и некоторые основные физические формулы.

Сначала мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа:

[ PV = nRT, ]

где:

• ( P ) — давление (в паскалях),
• ( V ) — объем (в кубических метрах),
• ( n ) — количество молей газа,
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} )),
• ( T ) — температура (в кельвинах).

Поскольку у нас есть плотность газа, мы можем выразить количество молей через массу и молярную массу:

[ n = \frac{m}{M}, ]

где:

• ( m ) — масса газа,
• ( M ) — молярная масса газа.

Также мы знаем, что плотность (( \rho )) связана с массой и объемом следующим образом:

[ \rho = \frac{m}{V}. ]

Из этого выражения можно найти массу газа:

[ m = \rho V. ]

Теперь подставим это в уравнение состояния идеального газа:

[ PV = \frac{\rho V}{M} RT. ]

Сокращаем объем ( V ) с обеих сторон:

[ P = \frac{\rho}{M} RT. ]

Теперь выразим молярную массу ( M ):

[ M = \frac{\rho RT}{P}. ]

Теперь подставим известные значения в формулу. Сначала преобразуем температуру из Цельсия в Кельвины:

[ T = 91 + 273.15 = 364.15 \, \text{К}. ]

Давление ( P = 800 \, \text{кПа} = 800000 \, \text{Па} ), и плотность ( \rho = 5.4 \, \text{кг/м}^3 ).

Теперь можем подставить значения в формулу для молярной массы:

[ M = \frac{5.4 \, \text{кг/м}^3 \cdot 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} \cdot 364.15 \, \text{К}}{800000 \, \text{Па}}. ]

Теперь вычислим:

1. Вычислим числитель:

[ 5.4 \cdot 8.314 \cdot 364.15 \approx 5.4 \cdot 3036.891 = 16488.8 \, \text{кг·Дж/(моль·К)}. ]

1. Теперь делим на давление:

[ M \approx \frac{16488.8}{800000} \approx 0.02061 \, \text{кг/моль} = 20.61 \, \text{г/моль}. ]

Теперь, чтобы найти массу одной молекулы, воспользуемся формулой:

[ m_{\text{молекулы}} = \frac{M}{N_A}, ]

где ( N_A ) — число Авогадро (( N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль} )).

Подставим значения:

[ m_{\text{молекулы}} = \frac{0.02061 \, \text{кг/моль}}{6.022 \times 10^{23} \, \text{молекул/моль}}. ]

Выполним вычисление:

[ m_{\text{молекулы}} \approx \frac{0.02061}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.42 \times 10^{-26} \, \text{кг}. ]

Таким образом, масса одной молекулы газа составляет примерно ( 3.42 \times 10^{-26} \, \text{кг} ).

Для решения задачи найдем массу одной молекулы газа, используя уравнение состояния идеального газа и молекулярную массу.

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа записывается как:

[ pV = \nu RT ]

где:

• ( p ) — давление газа (( 800 \, \text{кПа} = 800 \cdot 10^3 \, \text{Па} )),
• ( V ) — объем,
• ( \nu ) — количество вещества,
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} )),
• ( T ) — абсолютная температура газа.

Также можно записать это уравнение в виде:

[ p = \rho \frac{RT}{M}, ]

где:

• ( \rho ) — плотность газа (( 5.4 \, \text{кг/м}^3 )),
• ( M ) — молярная масса газа.

Из этого уравнения выразим молярную массу ( M ):

[ M = \frac{\rho RT}{p}. ]

Переход к массе одной молекулы

Молярная масса ( M ) связана с массой одной молекулы ( m_0 ) через число Авогадро ( N_A ):

[ m_0 = \frac{M}{N_A}, ]

где:

• ( N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \, \text{молекул/моль} ) — число Авогадро.

Перевод температуры в Кельвины

Дана температура ( T = 91 \, \degree \text{C} ). Переведем её в Кельвины:

[ T = 91 + 273.15 = 364.15 \, \text{K}. ]

Вычисление молярной массы

Подставим известные значения в формулу для ( M ):

[ M = \frac{\rho RT}{p}. ]

Подставляем:

• ( \rho = 5.4 \, \text{кг/м}^3 ),
• ( R = 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} ),
• ( T = 364.15 \, \text{K} ),
• ( p = 800 \cdot 10^3 \, \text{Па} ).

[ M = \frac{5.4 \cdot 8.31 \cdot 364.15}{800 \cdot 10^3}. ]

Сначала перемножим числитель:

[ 5.4 \cdot 8.31 \cdot 364.15 \approx 16352.6. ]

Теперь делим на ( 800 \cdot 10^3 ):

[ M = \frac{16352.6}{800 \cdot 10^3} = \frac{16352.6}{800000} \approx 0.02044 \, \text{кг/моль}. ]

Итак, молярная масса:

[ M \approx 0.02044 \, \text{кг/моль}. ]

Вычисление массы одной молекулы

Теперь найдем массу одной молекулы:

[ m_0 = \frac{M}{N_A}. ]

Подставим значения:

• ( M \approx 0.02044 \, \text{кг/моль} ),
• ( N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \, \text{молекул/моль} ).

[ m_0 = \frac{0.02044}{6.022 \cdot 10^{23}}. ]

Сначала делим ( 0.02044 ) на ( 6.022 ):

[ \frac{0.02044}{6.022} \approx 3.395 \cdot 10^{-3}. ]

Теперь делим на ( 10^{23} ):

[ m_0 \approx 3.395 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-23} = 3.395 \cdot 10^{-26} \, \text{кг}. ]

Ответ

Масса одной молекулы газа:

[ m_0 \approx 3.4 \cdot 10^{-26} \, \text{кг}. ]