На шероховатой горизонтальной поверхности стола с коэффициентом трения μ=0,5 находится брусок. Какую скорость V ему нужно сообщить, чтобы через S=150 м его скорость уменьшилась в k=4 раза? Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Ускорение свободного падения g=10 м/c2.
Для решения задачи найдем скорость, которую необходимо сообщить бруску, чтобы его скорость уменьшилась в 4 раза за расстояние в 150 м. Обозначим начальную скорость бруска как ( V_0 ), а конечную скорость как ( V_f = \frac{V_0}{4} ).
На брусок действует сила трения, которая равна ( F_{тр} = \mu \cdot N ), где ( N ) — нормальная сила, равная весу бруска ( mg ). Так как брусок находится на горизонтальной поверхности, нормальная сила ( N = mg ). Следовательно, сила трения:
[ F_{тр} = \mu mg = 0.5 \cdot mg ]
По второму закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение:
[ F = ma ]
Сравнивая силы, получаем:
[ ma = \mu mg ]
Отсюда находим ускорение ( a ):
[ a = \mu g = 0.5 \cdot 10 = 5 \, \text{м/с}^2 ]
Так как это тормозное ускорение, оно будет отрицательным:
[ a = -5 \, \text{м/с}^2 ]
Используем уравнение движения с постоянным ускорением:
[ V_f^2 = V_0^2 + 2aS ]
Подставим известные значения:
[ \left(\frac{V_0}{4}\right)^2 = V_0^2 + 2(-5)(150) ]
Упростим уравнение:
[ \frac{V_0^2}{16} = V_0^2 - 1500 ]
Переносим все в одну сторону:
[ \frac{V_0^2}{16} - V_0^2 + 1500 = 0 ]
Объединим член ( V_0^2 ):
[ \frac{V_0^2}{16} - \frac{16V_0^2}{16} + 1500 = 0 ]
[ -\frac{15V_0^2}{16} + 1500 = 0 ]
Умножим на -16:
[ 15V_0^2 = 24000 ]
Теперь найдем ( V_0^2 ):
[ V_0^2 = \frac{24000}{15} = 1600 ]
И, наконец, найдем ( V_0 ):
[ V_0 = \sqrt{1600} = 40 \, \text{м/с} ]
Скорость, которую нужно сообщить бруску, равна 40 м/с.
Для решения задачи используем законы кинематики и физики. Нам нужно определить начальную скорость ( V ), которую необходимо сообщить бруску, чтобы через расстояние ( S = 150 \, \text{м} ) его скорость уменьшилась в ( k = 4 ) раза. Дано также, что коэффициент трения ( \mu = 0.5 ) и ускорение свободного падения ( g = 10 \, \text{м/с}^2 ).
На брусок действует сила трения ( F{\text{тр}} ), которая направлена против его движения. Эта сила равна: [ F{\text{тр}} = \mu \cdot m \cdot g, ] где ( m ) — масса бруска, ( g = 10 \, \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения.
Сила трения вызывает отрицательное ускорение (замедление) ( a ), которое можно записать по второму закону Ньютона: [ a = \frac{F_{\text{тр}}}{m} = \mu \cdot g. ] Подставим численные значения: [ a = 0.5 \cdot 10 = 5 \, \text{м/с}^2. ]
Используем уравнение кинематики для равнозамедленного движения: [ v^2 = v_0^2 - 2aS, ] где:
По условию, конечная скорость ( v ) в ( k = 4 ) раза меньше начальной скорости ( v_0 ), то есть: [ v = \frac{v_0}{4}. ]
Подставим это в уравнение кинематики: [ \left(\frac{v_0}{4}\right)^2 = v_0^2 - 2aS. ]
Раскроем скобки: [ \frac{v_0^2}{16} = v_0^2 - 2aS. ]
Умножим всё уравнение на 16, чтобы избавиться от дроби: [ v_0^2 = 16v_0^2 - 32aS. ]
Перенесём ( 16v_0^2 ) в левую часть: [ -15v_0^2 = -32aS. ]
Сократим минусы: [ 15v_0^2 = 32aS. ]
Выразим начальную скорость ( v_0 ): [ v_0^2 = \frac{32aS}{15}. ]
Подставим значения ( a = 5 \, \text{м/с}^2 ) и ( S = 150 \, \text{м} ): [ v_0^2 = \frac{32 \cdot 5 \cdot 150}{15}. ]
Упростим выражение: [ v_0^2 = \frac{24000}{15} = 1600. ]
Найдём ( v_0 ), извлекая квадратный корень: [ v_0 = \sqrt{1600} = 40 \, \text{м/с}. ]
Начальная скорость бруска должна быть ( \mathbf{40 \, \text{м/с}} ).
