На поверхности планеты ускорение свободного падения равно 1,6 м/с2 а ее первач космическая скорость...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы физики, а именно закон сохранения энергии.

Пусть радиус планеты равен R, а ее масса - M. Тогда потенциальная энергия тела на высоте R равна -GMm/R, где G - постоянная всемирного тяготения, m - масса тела. Кинетическая энергия тела при движении на высоте R равна его кинетической энергии при космической скорости: (1/2)mv^2 = (1/2)m(2.56*10^3)^2, где v - космическая скорость.

С учетом закона сохранения энергии, потенциальная энергия тела на поверхности планеты равна его кинетической энергии на высоте R: -GMm/R = (1/2)m(2.56*10^3)^2.

Учитывая, что ускорение свободного падения g = GM/R^2, получаем gR = (1/2)(2.56*10^3)^2.

Отсюда находим R = [(1/2)(2.56*10^3)^2]/g = 6553.6 м.

Таким образом, радиус этой планеты составляет 6553.6 метров.

Для определения радиуса планеты, исходя из данных об ускорении свободного падения и первой космической скорости, используем основные физические законы.

1. Первая космическая скорость ((v_1)) для планеты определяется формулой: [ v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}} ] где:
   • (v_1) — первая космическая скорость,
   • (G) — гравитационная постоянная ((6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2})),
   • (M) — масса планеты,
   • (R) — радиус планеты.

Также известно, что ускорение свободного падения (g) на поверхности планеты связано с массой планеты и её радиусом через формулу: [ g = \frac{G \cdot M}{R^2} ] где:

• (g) — ускорение свободного падения (1.6 м/с(^2) для данной планеты).

Теперь у нас есть две уравнения: [ v_1^2 = \frac{G \cdot M}{R} ] [ g = \frac{G \cdot M}{R^2} ]

Решим систему этих уравнений. Из второго уравнения выразим массу (M): [ M = \frac{g \cdot R^2}{G} ]

Подставим это выражение в первое уравнение: [ v_1^2 = \frac{G \cdot \left(\frac{g \cdot R^2}{G}\right)}{R} ] Упростим: [ v_1^2 = g \cdot R ]

Теперь выразим радиус (R): [ R = \frac{v_1^2}{g} ]

Подставим значения (v_1 = 2.56 \, \text{км/с} = 2560 \, \text{м/с}) и (g = 1.6 \, \text{м/с}^2): [ R = \frac{(2560 \, \text{м/с})^2}{1.6 \, \text{м/с}^2} ] [ R = \frac{6553600 \, \text{м}^2/\text{s}^2}{1.6 \, \text{м/s}^2} ] [ R = 4096000 \, \text{м} ]

Таким образом, радиус планеты составляет 4,096 километра.