На поверхности планеты ускорение свободного падения равно 1,6 м/с2 а ее первач космическая скорость...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы физики, а именно закон сохранения энергии.

Пусть радиус планеты равен R, а ее масса - M. Тогда потенциальная энергия тела на высоте R равна -GMm/R, где G - постоянная всемирного тяготения, m - масса тела. Кинетическая энергия тела при движении на высоте R равна его кинетической энергии при космической скорости: $1/2$mv^2 = $1/2$m$2.56\ast {10}^3$^2, где v - космическая скорость.

С учетом закона сохранения энергии, потенциальная энергия тела на поверхности планеты равна его кинетической энергии на высоте R: -GMm/R = $1/2$m$2.56\ast {10}^3$^2.

Учитывая, что ускорение свободного падения g = GM/R^2, получаем gR = $1/2$$2.56\ast {10}^3$^2.

Отсюда находим R = $(1/2)(2.56\ast {10}^3{)}^2$/g = 6553.6 м.

Таким образом, радиус этой планеты составляет 6553.6 метров.

Для определения радиуса планеты, исходя из данных об ускорении свободного падения и первой космической скорости, используем основные физические законы.

1. Первая космическая скорость $(v_1$) для планеты определяется формулой: $v_1=\sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}$ где:
   • $v_1$ — первая космическая скорость,
   • $G$ — гравитационная постоянная $(6.67430\times {10}^{-11}{\text{м}}^3{\text{кг}}^{-1}{\text{с}}^{-2}$),
   • $M$ — масса планеты,
   • $R$ — радиус планеты.

Также известно, что ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты связано с массой планеты и её радиусом через формулу: $g=\frac{G\cdot M}{R^2}$ где:

• $g$ — ускорение свободного падения $1.6м/с{(}^2$ для данной планеты).

Теперь у нас есть две уравнения: $v_1^2=\frac{G\cdot M}{R}$ $g=\frac{G\cdot M}{R^2}$

Решим систему этих уравнений. Из второго уравнения выразим массу $M$: $M=\frac{g\cdot R^2}{G}$

Подставим это выражение в первое уравнение: $v_1^2=\frac{G\cdot \left(\frac{g\cdot R^2}{G}\right)}{R}$ Упростим: $v_1^2=g\cdot R$

Теперь выразим радиус $R$: $R=\frac{v_1^2}{g}$

Подставим значения $v_1=2.56\text{км/с}=2560\text{м/с}$ и $g=1.6{\text{м/с}}^2$: $R=\frac{(2560\text{м/с}{)}^2}{1.6{\text{м/с}}^2}$ $R=\frac{6553600{\text{м}}^2/{\text{s}}^2}{1.6{\text{м/s}}^2}$ $R=4096000\text{м}$

Таким образом, радиус планеты составляет 4,096 километра.