На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшиться в 16 раз? Радиус Земли...

Ускорение свободного падения ( g ) на поверхности Земли можно выразить с помощью закона всемирного тяготения. Формула для ускорения свободного падения на расстоянии ( r ) от центра Земли выглядит следующим образом:

[ g(r) = \frac{GM}{r^2} ]

где:

• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( M ) — масса Земли,
• ( r ) — расстояние от центра Земли.

На поверхности Земли (где ( r = R ), радиус Земли) ускорение свободного падения равно:

[ g = \frac{GM}{R^2} ]

Мы хотим найти такое расстояние ( h ) от поверхности Земли, при котором ускорение свободного падения уменьшится в 16 раз. Это можно записать как:

[ g(h) = \frac{g}{16} ]

Подставим выражение для ускорения свободного падения на расстоянии ( r = R + h ):

[ g(R + h) = \frac{GM}{(R + h)^2} ]

Приравняем это выражение к ( g/16 ):

[ \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{GM}{16R^2} ]

Сократим ( GM ) с обеих сторон (при условии, что ( GM \neq 0 )):

[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{16R^2} ]

Теперь, взяв обратные значения, получим:

[ (R + h)^2 = 16R^2 ]

Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон:

[ R + h = 4R ]

Отсюда выразим ( h ):

[ h = 4R - R = 3R ]

Таким образом, для того чтобы ускорение свободного падения уменьшилось в 16 раз, необходимо находиться на расстоянии ( h = 3R ) от поверхности Земли.

Итак, окончательный ответ: ускорение свободного падения уменьшится в 16 раз на расстоянии ( 3R ) от поверхности Земли.

Для ответа на вопрос рассмотрим формулу для ускорения свободного падения ( g ) на расстоянии ( r ) от центра Земли. Ускорение ( g ) зависит от расстояния согласно закону всемирного тяготения:

[ g = \frac{G M}{r^2}, ]

где:

• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( M ) — масса Земли,
• ( r ) — расстояние от центра Земли до рассматриваемой точки.

На поверхности Земли ускорение свободного падения равно ( g_0 ):

[ g_0 = \frac{G M}{R^2}, ]

где ( R ) — радиус Земли.

Мы ищем расстояние ( h ) от поверхности Земли (где ускорение уменьшится в 16 раз), то есть расстояние ( r ) от центра Земли будет равно ( r = R + h ). Условие задачи таково, что ускорение в этой точке ( g ) должно быть равно:

[ g = \frac{g_0}{16}. ]

Подставим выражения для ускорения:

[ \frac{G M}{(R + h)^2} = \frac{1}{16} \cdot \frac{G M}{R^2}. ]

Сократим ( G M ) (оно не равно нулю) и получим:

[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{16 R^2}. ]

Упростим это выражение, домножив обе части на ( (R + h)^2 \cdot 16 R^2 ):

[ 16 R^2 = (R + h)^2. ]

Теперь раскроем квадрат в правой части уравнения:

[ 16 R^2 = R^2 + 2Rh + h^2. ]

Перенесем ( R^2 ) влево:

[ 16 R^2 - R^2 = 2Rh + h^2. ]

[ 15 R^2 = 2Rh + h^2. ]

Это квадратное уравнение относительно ( h ). Перепишем его в стандартной форме:

[ h^2 + 2Rh - 15R^2 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Общая формула для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) имеет вид:

[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. ]

В данном случае:

• ( a = 1 ),
• ( b = 2R ),
• ( c = -15R^2 ).

Найдём дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15R^2). ]

[ D = 4R^2 + 60R^2 = 64R^2. ]

Теперь найдём корни уравнения:

[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{64R^2}}{2}. ]

[ h = \frac{-2R \pm 8R}{2}. ]

Рассмотрим два решения:

1. ( h = \frac{-2R + 8R}{2} = \frac{6R}{2} = 3R ),
2. ( h = \frac{-2R - 8R}{2} = \frac{-10R}{2} = -5R ) (отрицательный корень не имеет физического смысла, так как расстояние не может быть отрицательным).

Таким образом, ( h = 3R ).

Ответ: Ускорение свободного падения уменьшится в 16 раз на расстоянии ( h = 3R ) от поверхности Земли, то есть на расстоянии ( r = R + h = 4R ) от центра Земли.