На какой высоте ускорение свободного падения уменьшиться в 3 раза. Напишите полное решение и дано

Высота, на которой ускорение свободного падения уменьшится в 3 раза, можно найти, используя уравнение для изменения ускорения с высотой:

g' = g / (1 + h/R)^2,

где g' - ускорение свободного падения на высоте h, g - ускорение свободного падения на поверхности Земли, R - радиус Земли.

По условию задачи, g' = g/3. Подставляя это значение в уравнение и решая его относительно h, получаем:

g/3 = g / (1 + h/R)^2, 1 + h/R = sqrt(3), h/R = sqrt(3) - 1, h = R(sqrt(3) - 1) ≈ 0.732R.

Таким образом, ускорение свободного падения уменьшится в 3 раза на высоте примерно 0.732 радиуса Земли.

Для того чтобы найти на какой высоте ускорение свободного падения уменьшится в 3 раза, мы можем воспользоваться уравнением изменения ускорения при свободном падении:

g' = g(1 - 2h/R)

где g' - ускорение свободного падения на высоте h, g - ускорение свободного падения на поверхности Земли (около 9.81 м/с^2), R - радиус Земли.

Так как нам нужно найти высоту, на которой ускорение уменьшится в 3 раза, то g' = g/3. Тогда уравнение примет вид:

g/3 = g(1 - 2h/R)

1/3 = 1 - 2h/R

2h/R = 2/3

h/R = 1/3

h = R/3

Таким образом, ускорение свободного падения уменьшится в 3 раза на высоте, равной радиусу Земли, деленному на 3.

Чтобы найти высоту, на которой ускорение свободного падения уменьшается в 3 раза, нужно использовать закон всемирного тяготения и формулу для ускорения свободного падения. Давайте разберем это по шагам.

Дано:

• Ускорение свободного падения на поверхности Земли, ( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 ).
• Нам нужно найти высоту ( h ), на которой ускорение свободного падения будет ( \frac{g}{3} ).

Решение:

1. Формула для ускорения свободного падения на высоте ( h ):

   Ускорение свободного падения на высоте ( h ) от поверхности Земли можно выразить как: [ g_h = \frac{GM}{(R + h)^2} ] где:

   • ( G ) — гравитационная постоянная (( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2} )).
   • ( M ) — масса Земли (( 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг} )).
   • ( R ) — радиус Земли (( 6.371 \times 10^6 \, \text{м} )).

2. Условие задачи:

   По условию задачи, ускорение свободного падения должно уменьшиться в 3 раза, то есть: [ g_h = \frac{g}{3} ] Подставим это в формулу: [ \frac{g}{3} = \frac{GM}{(R + h)^2} ]

3. Выразим ускорение свободного падения ( g ) на поверхности Земли:

   Известно, что на поверхности Земли: [ g = \frac{GM}{R^2} ]

4. Подставим ( g ) из формулы на поверхности Земли в уравнение на высоте ( h ):

   [ \frac{\frac{GM}{R^2}}{3} = \frac{GM}{(R + h)^2} ] Сократим ( GM ) по обе стороны уравнения: [ \frac{1}{3R^2} = \frac{1}{(R + h)^2} ]

5. Решим уравнение относительно ( h ):

   Приведем обе стороны к общему знаменателю: [ 3(R + h)^2 = R^2 ]

   Упростим уравнение: [ 3(R + h)^2 = R^2 ] [ 3(R^2 + 2Rh + h^2) = R^2 ] [ 3R^2 + 6Rh + 3h^2 = R^2 ] [ 3h^2 + 6Rh + 3R^2 - R^2 = 0 ] [ 3h^2 + 6Rh + 2R^2 = 0 ]

6. Решим квадратное уравнение:

   Разделим обе стороны на 3: [ h^2 + 2Rh + \frac{2R^2}{3} = 0 ]

   Используем формулу квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), где: [ a = 1, \quad b = 2R, \quad c = \frac{2R^2}{3} ]

   Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{2R^2}{3} ] [ D = 4R^2 - \frac{8R^2}{3} ] [ D = \frac{12R^2 - 8R^2}{3} ] [ D = \frac{4R^2}{3} ]

   Решение квадратного уравнения: [ h = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ h = \frac{-2R \pm \sqrt{\frac{4R^2}{3}}}{2} ] [ h = \frac{-2R \pm \frac{2R}{\sqrt{3}}}{2} ] [ h = -R \pm \frac{R}{\sqrt{3}} ]

   Поскольку высота должна быть положительной: [ h = -R + \frac{R}{\sqrt{3}} ] [ h = R \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - 1 \right) ] [ h = R \left( \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) ]

7. Подставим радиус Земли ( R ):

   [ h = 6.371 \times 10^6 \, \text{м} \left( \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) ]

   Это значение можно упростить или оставить в таком виде для точности.

Ответ:

Высота ( h ), на которой ускорение свободного падения уменьшится в 3 раза, равна ( R \left( \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) ), где ( R ) — радиус Земли. Подставив численное значение радиуса Земли, мы получаем конкретное значение высоты.