На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшится в 2 раза?*

Ускорение свободного падения зависит от расстояния от центра Земли и уменьшается с увеличением высоты. Для того чтобы ускорение свободного падения уменьшилось в 2 раза, необходимо подняться на высоту, где оно будет в два раза меньше, чем на поверхности Земли.

На высоте около 3185 км над поверхностью Земли ускорение свободного падения будет в два раза меньше, чем на поверхности Земли. Это можно вычислить, используя формулу для ускорения свободного падения на высоте h: g(h) = g(0) * (R^2 / (R + h)^2), где g(0) - ускорение свободного падения на поверхности Земли (около 9,81 м/c^2), R - радиус Земли (примерно 6371 км).

Ускорение свободного падения на поверхности Земли ( g ) примерно равно 9.81 м/с². Это значение зависит от радиуса Земли ( R ) и массы Земли ( M ). Формула для ускорения свободного падения на высоте ( h ) над поверхностью Земли выражается как:

[ g_h = \frac{GM}{(R + h)^2} ]

где:

• ( G ) — гравитационная постоянная (( 6.67430 \times 10^{-11} \text{ м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2} )),
• ( M ) — масса Земли (( 5.972 \times 10^{24} \text{ кг} )),
• ( R ) — радиус Земли (( \approx 6371 \text{ км} )),
• ( h ) — высота над поверхностью Земли.

Для того, чтобы ускорение свободного падения уменьшилось в два раза, нам нужно найти такую высоту ( h ), при которой ( g_h ) будет равна ( \frac{g}{2} ).

Подставим это в уравнение:

[ \frac{g}{2} = \frac{GM}{(R + h)^2} ]

Заменим ( g ) на ( \frac{GM}{R^2} ):

[ \frac{1}{2} \cdot \frac{GM}{R^2} = \frac{GM}{(R + h)^2} ]

Упростим уравнение, сократив ( GM ) с обеих сторон:

[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{R^2} = \frac{1}{(R + h)^2} ]

[ \frac{1}{2} = \frac{R^2}{(R + h)^2} ]

Возьмем квадратный корень с обеих сторон:

[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R + h} ]

Теперь выразим ( R + h ):

[ \sqrt{2} \cdot R = R + h ]

Выразим ( h ):

[ h = \sqrt{2} \cdot R - R ]

[ h = R (\sqrt{2} - 1) ]

Подставим значение радиуса Земли ( R \approx 6371 \text{ км} ):

[ h \approx 6371 \cdot (\sqrt{2} - 1) ]

[ h \approx 6371 \cdot (1.414 - 1) ]

[ h \approx 6371 \cdot 0.414 ]

[ h \approx 2639 \text{ км} ]

Таким образом, ускорение свободного падения уменьшится в два раза на высоте приблизительно 2639 км над поверхностью Земли.