На какой высоте над поверхностью земли ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на земной поверхности?...

Ускорение свободного падения ( g ) на поверхности Земли определяется формулой:

[ g = \frac{GM}{R^2} ]

где ( G ) — гравитационная постоянная, ( M ) — масса Земли, ( R ) — радиус Земли. На поверхности Земли ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ).

Когда мы поднимаемся на высоту ( h ) над поверхностью Земли, ускорение свободного падения изменяется и рассчитывается по формуле:

[ g_h = \frac{GM}{(R + h)^2} ]

Мы ищем высоту ( h ), при которой ускорение свободного падения ( g_h ) в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли:

[ g_h = \frac{g}{16} ]

Подставляем значение ( g ):

[ g_h = \frac{9.81}{16} \approx 0.613125 \, \text{м/с}^2 ]

Теперь подставим это значение в уравнение для ( g_h ):

[ \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{GM}{R^2 \cdot 16} ]

Так как ( GM ) сокращается, мы можем упростить уравнение:

[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{R^2 \cdot 16} ]

Теперь, перемножим обе стороны на ( (R + h)^2 R^2 \cdot 16 ):

[ 16R^2 = (R + h)^2 ]

Теперь раскроем скобки:

[ 16R^2 = R^2 + 2Rh + h^2 ]

Переносим все в одну сторону:

[ 16R^2 - R^2 - 2Rh - h^2 = 0 ]

Упрощаем:

[ 15R^2 - 2Rh - h^2 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( h ). Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = -1 ), ( b = -2R ), ( c = 15R^2 ):

[ h = \frac{2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 15R^2}}{2 \cdot (-1)} ]

Упрощаем:

[ h = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 60R^2}}{-2} ] [ h = \frac{2R \pm \sqrt{64R^2}}{-2} ] [ h = \frac{2R \pm 8R}{-2} ]

Теперь у нас есть два возможных решения:

1. ( h = \frac{10R}{-2} = -5R ) (отрицательное значение не имеет физического смысла)
2. ( h = \frac{-6R}{-2} = 3R )

Таким образом, высота ( h ) равна:

[ h = 3R ]

Подставляя радиус Земли ( R = 6400 \, \text{км} = 6.4 \times 10^6 \, \text{м} ):

[ h = 3 \times 6.4 \times 10^6 \approx 19.2 \times 10^6 \, \text{м} = 19200 \, \text{км} ]

Таким образом, высота, на которой ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли, составляет примерно 19200 км.

Ускорение свободного падения ( g ) на поверхности Земли уменьшается с увеличением расстояния от центра Земли. Эта зависимость описывается законом всемирного тяготения Ньютона:

[ g = \frac{G \cdot M}{r^2}, ]

где:

• ( G ) — гравитационная постоянная,
• ( M ) — масса Земли,
• ( r ) — расстояние от центра Земли до точки, где мы измеряем ускорение свободного падения.

На поверхности Земли ускорение свободного падения обозначим как ( g_0 ), и его значение определяется радиусом Земли ( R ) (где ( R = 6400 \, \text{км} = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м} )):

[ g_0 = \frac{G \cdot M}{R^2}. ]

На высоте ( h ) над поверхностью Земли расстояние от центра Земли до точки наблюдения ( r ) становится:

[ r = R + h. ]

Если ускорение свободного падения на высоте ( h ) будет в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли, то:

[ \frac{g}{g_0} = \frac{1}{16}. ]

Подставим выражение для ( g ) и ( g_0 ):

[ \frac{\frac{G \cdot M}{(R + h)^2}}{\frac{G \cdot M}{R^2}} = \frac{1}{16}. ]

Сократим ( G \cdot M ) и упростим выражение:

[ \frac{R^2}{(R + h)^2} = \frac{1}{16}. ]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:

[ \frac{R}{R + h} = \frac{1}{4}. ]

Умножим обе стороны на ( R + h ):

[ R = \frac{1}{4}(R + h). ]

Раскроем скобки и выразим ( h ):

[ R = \frac{R}{4} + \frac{h}{4}. ]

Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:

[ 4R = R + h. ]

Вычтем ( R ) из обеих сторон:

[ 3R = h. ]

Таким образом, высота ( h ) равна трём радиусам Земли:

[ h = 3R. ]

Подставим значение радиуса Земли ( R = 6400 \, \text{км} ):

[ h = 3 \cdot 6400 = 19200 \, \text{км}. ]

Ответ:

Ускорение свободного падения будет в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли, на высоте 19200 км над поверхностью Земли.

Ускорение свободного падения ( g ) на высоте ( h ) можно выразить формулой:

[ g_h = \frac{g_0}{(1 + \frac{h}{R})^2} ]

где ( g_0 ) — ускорение свободного падения на поверхности Земли, ( R ) — радиус Земли, ( h ) — высота над поверхностью.

Если ( g_h = \frac{g_0}{16} ), то:

[ \frac{g_0}{(1 + \frac{h}{R})^2} = \frac{g_0}{16} ]

Сокращаем ( g_0 ):

[ (1 + \frac{h}{R})^2 = 16 ]

Берем квадратный корень:

[ 1 + \frac{h}{R} = 4 ]

Отсюда:

[ \frac{h}{R} = 3 \implies h = 3R ]

Подставляем радиус Земли ( R = 6400 ) км:

[ h = 3 \times 6400 \text{ км} = 19200 \text{ км} ]

Таким образом, высота, на которой ускорение свободного падения в 16 раз меньше, составляет 19200 км.