Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты Н = 2 м по доске, наклоненной под углом α = 45° к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальную поверхность. Коэффициент трения мешка о доску и горизонтальную поверхность μ = 0,5. На каком расстоянии от конца доски мешок остановится?
Для решения данной задачи, сначала найдем ускорение мешка по наклонной плоскости. Проекция ускорения на ось х будет равна a = gsin(α), где g - ускорение свободного падения (≈9,81 м/с²), а α - угол наклона доски к горизонту. Таким образом, a = 9,81sin(45°) ≈ 6,93 м/с².
Затем найдем время, за которое мешок пройдет расстояние Н по наклонной плоскости. Для этого воспользуемся уравнением движения вдоль оси у: Н = (at²) / 2, откуда t = √(2Н/a) ≈ √(2*2/6,93) ≈ 0,84 сек.
Зная время движения мешка по наклонной плоскости, можем найти скорость m = at ≈ 6,930,84 ≈ 5,81 м/с. Теперь мы можем определить ускорение мешка на горизонтальной поверхности, которое будет равно a = μg = 0,59,81 ≈ 4,905 м/с².
Далее найдем время, за которое мешок остановится на горизонтальной поверхности, используя уравнение движения по горизонтали: 0 = mt - μgt²/2, откуда t = m / (μg) ≈ 5,81 / (0,5*9,81) ≈ 1,18 сек.
Наконец, найдем расстояние, на котором мешок остановится по горизонтальной поверхности, пройдя за время t = 1,18 сек. По формуле S = mt - μgt²/2 получаем S ≈ 5,811,18 - 0,59,811,18²/2 ≈ 6,84 м.
Таким образом, мешок остановится на расстоянии примерно 6,84 м от конца доски.
Для решения задачи нужно учитывать два этапа движения мешка: спуск по наклонной плоскости и движение по горизонтальной поверхности.
Силы, действующие на мешок:
На наклонной плоскости мешок движется под действием силы тяжести, разложенной на две составляющие: параллельную плоскости (( mg \sin \alpha )) и перпендикулярную плоскости (( mg \cos \alpha )). Сила трения направлена противоположно движению и равна ( f = \mu N = \mu mg \cos \alpha ).
Уравнение движения: [ ma = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha ]
Ускорение мешка: [ a = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) ]
Подставим известные значения (( \alpha = 45^\circ )): [ a = g \left( \sin 45^\circ - \mu \cos 45^\circ \right) = g \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \mu \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = g \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - \mu) ]
Найдем скорость мешка в конце доски: Используем уравнение кинематики для движения с постоянным ускорением: [ v^2 = v_0^2 + 2aS ] где ( v_0 = 0 ) и ( S = \frac{H}{\sin \alpha} ) — длина наклонной доски.
[ v^2 = 2a \frac{H}{\sin \alpha} ] [ v^2 = 2g \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - \mu) \frac{H}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ] [ v^2 = 2gH(1 - \mu) ] [ v = \sqrt{2gH(1 - \mu)} ]
На горизонтальной поверхности мешок движется под действием только силы трения, которая замедляет его движение.
Ускорение на горизонтальной поверхности: [ a' = -\mu g ]
Уравнение движения: [ v^2 = v_0^2 + 2a'S' ] где конечная скорость ( v = 0 ), начальная скорость ( v_0 = \sqrt{2gH(1 - \mu)} ), а ( S' ) — искомое расстояние.
[ 0 = 2gH(1 - \mu) - 2\mu g S' ]
Решаем относительно ( S' ): [ 2\mu g S' = 2gH(1 - \mu) ] [ S' = \frac{H(1 - \mu)}{\mu} ]
Подставим значения: [ S' = \frac{2(1 - 0.5)}{0.5} = \frac{2 \times 0.5}{0.5} = 2 \, \text{м} ]
Таким образом, мешок остановится на расстоянии 2 метра от конца доски.
Мешок остановится на расстоянии, равном половине длины доски.
