Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,1 cos 3πt/2, м. Определите: 1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.
Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,1 cos 3πt/2, м. Определите: 1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.
Для решения задачи о гармонических колебаниях материальной точки, необходимо использовать несколько ключевых понятий и формул из классической механики и теории колебаний.
Возвращающая сила в случае гармонических колебаний определяется законом Гука и направлена в сторону, противоположную смещению. Она выражается как: [ F = -kx ]
где ( k ) — жесткость пружины, ( x ) — смещение из положения равновесия.
Из уравнения колебаний: [ x = 0,1 \cos \left( \frac{3\pi t}{2} \right) ]
Для нахождения возвращающей силы ( F ) в момент времени ( t = 0,5 ) с, сначала найдем смещение ( x ):
[ x = 0,1 \cos \left( \frac{3\pi \cdot 0,5}{2} \right) = 0,1 \cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) ]
[ \cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]
Следовательно, смещение: [ x = 0,1 \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -0,1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{0,1\sqrt{2}}{2} \approx -0,0707 \text{ м} ]
Теперь найдем жесткость ( k ) через угловую частоту ( \omega ). Угловая частота ( \omega ) в данном уравнении равна: [ \omega = \frac{3\pi}{2} ]
Связь между жесткостью ( k ) и угловой частотой ( \omega ) для гармонического осциллятора: [ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} ]
Отсюда жесткость: [ k = m \omega^2 ]
Подставим значение массы ( m = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг} ): [ k = 0,05 \left( \frac{3\pi}{2} \right)^2 = 0,05 \cdot \left( \frac{9\pi^2}{4} \right) = 0,05 \cdot \frac{9\pi^2}{4} = 0,05 \cdot \frac{9 \cdot 9,87}{4} \approx 3,5 \text{ Н/м} ]
Теперь можем найти возвращающую силу ( F ): [ F = -kx = -3,5 \cdot (-0,0707) \approx 0,2475 \text{ Н} ]
Полная энергия гармонического осциллятора состоит из кинетической и потенциальной энергии, но в любом случае она остается постоянной и равна максимальной потенциальной энергии:
[ E = \frac{1}{2} k A^2 ]
где ( A ) — амплитуда колебаний. Из уравнения видно, что амплитуда ( A = 0,1 ) м.
Подставим значения: [ E = \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot (0,1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 0,01 = 0,0175 \text{ Дж} ]
Таким образом:
1) Для определения возвращающей силы F в момент времени t = 0,5 с, необходимо вычислить производную положения материальной точки по времени и умножить ее на массу точки: x(t) = 0,1 cos(3πt/2) м v(t) = -0,1 3π sin(3πt/2) = -0,3π sin(3πt/2) м/с a(t) = -0,3π 3π cos(3πt/2) = -0,9π^2 cos(3πt/2) м/с^2
Возвращающая сила определяется как F = -m a(t), где m = 50 г = 0,05 кг: F = -0,05 (-0,9π^2 cos(3π * 0,5)) = 0,045π^2 кг м/с^2
2) Полная энергия E точки равна сумме кинетической и потенциальной энергий: E = K + U
Кинетическая энергия K = (1/2)mv^2, где v - скорость точки в момент времени t = 0,5 с: K = 0,5 0,05 (0,3π sin(3π * 0,5))^2 = 0,0075π^2 Дж
Потенциальная энергия U = (1/2)kx^2, где k - жесткость пружины, x - положение точки в момент времени t = 0,5 с: U = 0,5 k (0,1 cos(3π * 0,5))^2 = 0,005 Дж
Таким образом, полная энергия точки E = 0,0075π^2 + 0,005 = 0,0125π^2 Дж.
