Лодка, имеющая скорость 6 м/с относительно воды, должна переправиться через реку по кратчайшему пути....

Для переправы по кратчайшему пути лодке необходимо держать курс под углом 30 градусов к направлению течения реки. Скорость лодки относительно земли будет равна 6√3 м/с.

Для определения курса лодки относительно берега при переправе через реку по кратчайшему пути, необходимо учесть скорость лодки относительно воды и скорость течения реки.

Сначала найдем угол курса лодки относительно берега. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

(V{\text{лодка/земля}}^2 = V{\text{лодка/вода}}^2 + V{\text{река}}^2 - 2 \cdot V{\text{лодка/вода}} \cdot V_{\text{река}} \cdot \cos\theta),

где (V{\text{лодка/земля}}) - скорость лодки относительно земли, (V{\text{лодка/вода}}) - скорость лодки относительно воды, (V_{\text{река}}) - скорость течения реки, (\theta) - угол курса лодки относительно берега.

Подставляя известные значения, получаем:

(V_{\text{лодка/земля}}^2 = 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \cos\theta),

(V_{\text{лодка/земля}}^2 = 36 + 4 - 24\cos\theta),

(V_{\text{лодка/земля}}^2 = 40 - 24\cos\theta).

Теперь найдем угол курса лодки относительно берега, при котором кратчайший путь будет минимален. Для этого продифференцируем уравнение кратчайшего пути по углу (\theta), приравняем производную к нулю и найдем значение (\theta):

(\frac{d}{d\theta} (V_{\text{лодка/земля}}) = \frac{d}{d\theta} \sqrt{40 - 24\cos\theta} = 0).

Решив уравнение, найдем значение угла (\theta) и подставим его обратно в уравнение для (V_{\text{лодка/земля}}), чтобы найти скорость лодки относительно земли.

Чтобы переправиться через реку по кратчайшему пути, лодка должна двигаться перпендикулярно берегу. Это означает, что нужно компенсировать скорость течения реки своим движением, чтобы результирующий вектор скорости лодки был направлен прямо через реку.

1. Определение курса лодки относительно берега:

   Пусть ( v_b = 6 ) м/с — скорость лодки относительно воды, а ( v_r = 2 ) м/с — скорость течения реки. Мы хотим, чтобы результирующая скорость лодки была перпендикулярна направлению течения.

   Для этого лодка должна иметь компонент скорости, направленный против течения реки, чтобы компенсировать его. Пусть угол (\theta) — это угол между направлением движения лодки и направлением, перпендикулярным течению реки.

   Используя тригонометрические функции, мы можем записать:

   [ v_b \cdot \sin(\theta) = v_r ]

   Подставим значения:

   [ 6 \cdot \sin(\theta) = 2 ]

   Решая это уравнение, получаем:

   [ \sin(\theta) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ]

   Найдем (\theta):

   [ \theta = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) ]

   Таким образом, угол, который лодка должна держать относительно перпендикуляра к течению, составляет (\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)).

2. Скорость лодки относительно земли:

   Теперь определим скорость лодки относительно земли. Для этого используем компонент скорости, который направлен перпендикулярно течению:

   [ v_{\text{пер}} = v_b \cdot \cos(\theta) ]

   Поскольку мы знаем, что ( \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} ), подставим значение:

   [ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} ]

   Тогда:

   [ v_{\text{пер}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{8}}{3} = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ м/с} ]

   Таким образом, скорость лодки относительно земли составляет примерно 5.66 м/с, и она направлена перпендикулярно течению реки.