Лестница, приставленная к вертикальной стене, падает в результате скольжения её основания по полу.Каково...

Когда угол между лестницей и стеной равен 30 градусов, можно рассматривать лестницу как систему, состоящую из двух тел: самой лестницы и её основания. При скольжении основания по полу, лестница будет двигаться как твердое тело вращения.

Для определения отношения модулей скоростей V(верх)/V(низ) воспользуемся законом сохранения механической энергии. Пусть h - высота стены, l - длина лестницы, m - масса лестницы.

Потенциальная энергия лестницы в начальный момент (находящейся в вертикальном положении) равна потенциальной энергии в момент скольжения (при угле 30 градусов) и кинетической энергии:

mgh = mgl*sin(30) + (1/2)mv^2

где v - скорость основания лестницы в этот момент.

Так как h = l*cos(30), то упрощая уравнение, получаем:

g = v^2/(2l*(1-sin(30)))

Отсюда можно найти отношение скоростей V(верх)/V(низ).

Для решения задачи рассмотрим лестницу длиной ( L ), которая скользит вдоль стены. Пусть ( x ) — это горизонтальное расстояние от основания лестницы до стены, а ( y ) — вертикальное расстояние от верхнего конца лестницы до пола. В любой момент времени лестница образует прямоугольный треугольник с этими сторонами.

Используем теорему Пифагора для связи ( x ) и ( y ):

[ x^2 + y^2 = L^2 ]

Дифференцируем это уравнение по времени ( t ):

[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 ]

Сокращаем на 2:

[ x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0 ]

Обозначим ( \frac{dx}{dt} = V{низ} ) и ( \frac{dy}{dt} = V{верх} ), тогда уравнение принимает вид:

[ x V{низ} + y V{верх} = 0 ]

Откуда:

[ V{верх} = -\frac{x}{y} V{низ} ]

В момент времени, когда угол между лестницей и стеной равен 30 градусов, можно использовать тригонометрические соотношения для определения значений ( x ) и ( y ). Поскольку ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ) и ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ):

[ x = L \cos(30^\circ) = L \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ y = L \sin(30^\circ) = L \frac{1}{2} ]

Подставляем эти значения в наше уравнение:

[ V{верх} = -\frac{L \frac{\sqrt{3}}{2}}{L \frac{1}{2}} V{низ} = -\frac{\sqrt{3}}{1} V{низ} = -\sqrt{3} V{низ} ]

Таким образом, отношение модулей скоростей ( \frac{V{верх}}{V{низ}} ) в этот момент равно:

[ \left| \frac{V{верх}}{V{низ}} \right| = \sqrt{3} ]

Ответ: отношение модулей скоростей верхнего конца лестницы к нижнему в момент, когда угол между лестницей и стеной равен 30 градусов, равно ( \sqrt{3} ).