Конденсатор колебательного контура в начальный момент времени имеет заряд q max,через какое время заряд...

Конденсатор колебательного контура заряжается и разряжается в процессе колебаний, которые происходят за счет взаимодействия между конденсатором и катушкой индуктивности. Рассмотрим, как изменяется заряд на обкладках конденсатора во времени.

В идеальном LC-контуре (конденсатор и катушка индуктивности) заряд на конденсаторе изменяется по гармоническому закону, который можно описать следующим уравнением:

[ q(t) = q_{\text{max}} \cos(\omega t) ]

где:

• ( q(t) ) — заряд на обкладках конденсатора в момент времени ( t ),
• ( q_{\text{max}} ) — максимальный заряд (амплитуда заряда),
• ( \omega ) — угловая частота колебаний, которая определяется как ( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} ), где ( L ) — индуктивность катушки, ( C ) — емкость конденсатора.

Чтобы найти время, в течение которого заряд на конденсаторе становится в два раза меньше амплитудного значения (( q(t) = \frac{q_{\text{max}}}{2} )), подставим это значение в уравнение:

[ \frac{q{\text{max}}}{2} = q{\text{max}} \cos(\omega t) ]

Сократим ( q{\text{max}} ) с обеих сторон (при условии, что ( q{\text{max}} \neq 0 )):

[ \frac{1}{2} = \cos(\omega t) ]

Теперь найдем ( \omega t ):

[ \cos(\omega t) = \frac{1}{2} ]

Значение угла, для которого косинус равен ( \frac{1}{2} ), равно ( \frac{\pi}{3} ) и ( \frac{5\pi}{3} ) (или ( 2\pi - \frac{\pi}{3} )) в пределах одного полного колебания (от 0 до ( 2\pi )). Поскольку в контексте колебаний нас интересует первое значение, примем:

[ \omega t = \frac{\pi}{3} ]

Теперь выразим время ( t ):

[ t = \frac{\pi}{3\omega} ]

Если подставить ( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} ):

[ t = \frac{\pi}{3} \cdot \sqrt{LC} ]

Таким образом, время, через которое заряд на обкладках конденсатора станет в два раза меньше его максимального значения, равно:

[ t = \frac{\pi}{3} \sqrt{LC} ]

Это время соответствует первому полупериоду колебаний, когда заряд достигает половины своего максимального значения.

Конденсатор в колебательном контуре участвует в гармонических колебаниях, которые можно описать с помощью закона сохранения энергии и уравнения гармонического осциллятора. Рассмотрим этот процесс детально.

Основные положения:

1. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности. Заряд на обкладках конденсатора и ток через катушку изменяются гармонически со временем.

2. В каждый момент времени связь между зарядом ( q(t) ) на обкладках конденсатора и временем ( t ) описывается уравнением: [ q(t) = q_{\text{max}} \cos(\omega t), ] где:

   • ( q_{\text{max}} ) — максимальный заряд на обкладках конденсатора (амплитудное значение),
   • ( \omega ) — циклическая частота колебаний, равная ( \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}} ), где ( L ) — индуктивность катушки, ( C ) — ёмкость конденсатора,
   • ( t ) — время.

Условие задачи:

В начальный момент времени заряд ( q ) равен ( q{\text{max}} ). Нужно определить момент времени ( t ), когда заряд на обкладках конденсатора станет равным половине максимального значения: [ q(t) = \frac{q{\text{max}}}{2}. ]

Подставим это значение в уравнение колебаний: [ \frac{q{\text{max}}}{2} = q{\text{max}} \cos(\omega t). ]

Сокращаем ( q{\text{max}} ) (так как ( q{\text{max}} \neq 0 )): [ \frac{1}{2} = \cos(\omega t). ]

Теперь найдём ( \omega t ). Вспомним, что ( \cos(\pi/3) = 1/2 ), следовательно: [ \omega t = \frac{\pi}{3}. ]

Отсюда время ( t ) выражается как: [ t = \frac{\pi}{3 \omega}. ]

Выражение для ( \omega ):

Циклическая частота ( \omega ) определяется как ( \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}} ). Подставим это значение: [ t = \frac{\pi}{3} \sqrt{LC}. ]

Итоговый ответ:

Заряд на обкладках конденсатора станет в два раза меньше амплитудного значения через время: [ t = \frac{\pi}{3} \sqrt{LC}, ] где ( L ) — индуктивность катушки, ( C ) — ёмкость конденсатора.