Камень брошен под углом 45 градусов к горизонту со скоростью 10 метров в секунду , определите дальность...

Для решения задачи о дальности полета камня, брошенного под углом 45 градусов к горизонту со скоростью 10 м/с, воспользуемся физическими уравнениями движения в двух измерениях, учитывая влияние силы тяжести.

1. Разложение скорости на компоненты: Скорость можно разложить на горизонтальную и вертикальную компоненты. Поскольку угол броска составляет 45 градусов, то: [ v_x = v \cdot \cos(\theta) = 10 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 7.07 \text{ м/с} ] [ v_y = v \cdot \sin(\theta) = 10 \cdot \sin(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 7.07 \text{ м/с} ]

2. Время полета: Чтобы найти время полета, сначала определим время подъема до максимальной высоты, а затем удвоим это время (так как время подъема равно времени спуска). Время подъема можно найти по формуле: [ t_{up} = \frac{vy}{g} ] где (g \approx 9.81 \text{ м/с}^2) — ускорение свободного падения. Подставим значения: [ t{up} = \frac{7.07}{9.81} \approx 0.72 \text{ с} ] Общее время полета: [ t{total} = 2 \cdot t{up} \approx 2 \cdot 0.72 \approx 1.44 \text{ с} ]

3. Определение дальности полета: Дальность полета (горизонтальное расстояние) можно найти, умножив горизонтальную скорость на общее время полета: [ R = vx \cdot t{total} ] Подставим значения: [ R = 7.07 \cdot 1.44 \approx 10.18 \text{ м} ]

Таким образом, дальность полета камня составляет примерно 10.18 метров.

Рассмотрим задачу детально. Камень брошен под углом ( 45^\circ ) к горизонту со скоростью ( v_0 = 10 \, \text{м/с} ). Чтобы определить дальность полёта (горизонтальное расстояние, на которое переместится камень до момента падения на землю), используем законы кинематики.

1. Основные уравнения движения

При броске под углом к горизонту движение можно разделить на две независимые составляющие:

• По горизонтали: движение с постоянной скоростью, так как ускорение в этой плоскости равно нулю.
• По вертикали: движение с ускорением свободного падения ( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 ).

Уравнения движения:

• По горизонтали: ( x = v_x \cdot t ),
• По вертикали: ( y = v_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 ).

Здесь:

• ( x ) — координата по горизонтали,
• ( y ) — координата по вертикали,
• ( v_x = v_0 \cos \theta ) — горизонтальная составляющая начальной скорости,
• ( v_y = v_0 \sin \theta ) — вертикальная составляющая начальной скорости,
• ( t ) — время движения.

2. Разложение скорости на компоненты

Угол броска ( \theta = 45^\circ ). С учётом тригонометрических свойств:

• ( \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Следовательно: [ v_x = v_0 \cos 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, \text{м/с}, ] [ v_y = v_0 \sin 45^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, \text{м/с}. ]

3. Время полёта

Время полёта определяется моментом, когда камень возвращается на землю (( y = 0 )). Используем вертикальное уравнение движения: [ y = v_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2. ]

При ( y = 0 ): [ v_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 0, ] [ t (v_y - \frac{1}{2} g t) = 0. ]

Решения:

1. ( t = 0 ) — начальный момент броска.
2. ( v_y = \frac{1}{2} g t ), откуда: [ t = \frac{2 v_y}{g}. ]

Подставляем ( v_y = 5\sqrt{2} \, \text{м/с} ) и ( g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 ): [ t = \frac{2 \cdot 5\sqrt{2}}{9{,}8} = \frac{10\sqrt{2}}{9{,}8} \approx 1{,}44 \, \text{с}. ]

Итак, общее время полёта камня: [ t_{\text{полёта}} \approx 1{,}44 \, \text{с}. ]

4. Дальность полёта

Дальность полёта ( L ) равна горизонтальному перемещению за всё время полёта. Используем уравнение: [ L = v_x \cdot t. ]

Подставляем значения ( v_x = 5\sqrt{2} \, \text{м/с} ) и ( t \approx 1{,}44 \, \text{с} ): [ L = 5\sqrt{2} \cdot 1{,}44. ]

Вычислим численно: [ L \approx 5 \cdot 1{,}414 \cdot 1{,}44 \approx 10{,}2 \, \text{м}. ]

Ответ

Дальность полёта камня составляет приблизительно 10,2 метра.