Какой длины надо взять нихромовый проводник сечением 0,1 мм', чтобы изготовить нагреватель, на котором можно за 5 мин довести до кипения 1,5 л воды, взятой при 20 °С? Напряжение в сети — 220 В. КПД нагревателя 90 %. Удельное сопротивление нихрома — 1,1 Ом ■ мм'/м.
Для решения этой задачи нам нужно определить длину нихромового проводника, который будет использоваться в нагревателе. Для этого необходимо учесть несколько ключевых параметров: количество тепла, необходимое для нагрева воды, мощность нагревателя, эффективность (КПД) нагревателя, удельное сопротивление нихрома, площадь поперечного сечения проводника и напряжение в сети.
Рассчитаем количество тепла, необходимое для нагрева воды:
Количество тепла ( Q ), необходимое для нагрева воды, можно рассчитать по формуле: [ Q = mc\Delta T ] где:
Подставим значения: [ Q = 1.5 \times 4.18 \times 80 = 501.6 \text{ кДж} ]
Переведём в джоули: [ Q = 501600 \text{ Дж} ]
Учтём КПД нагревателя:
КПД (η) нагревателя — это отношение полезной мощности к полной мощности. Если КПД равен 90%, это означает, что только 90% потребляемой энергии используется для нагрева воды.
Полное количество потребляемой энергии ( Q{\text{потреб}} ): [ Q{\text{потреб}} = \frac{Q}{\eta} = \frac{501600}{0.9} \approx 557333 \text{ Дж} ]
Рассчитаем необходимую мощность нагревателя:
Мощность ( P ) можно рассчитать, если известно время ( t ): [ P = \frac{Q_{\text{потреб}}}{t} ] где ( t = 5 \times 60 = 300 ) секунд.
[ P = \frac{557333}{300} \approx 1857.78 \text{ Вт} ]
Найдем сопротивление нагревателя:
Мощность также можно выразить через напряжение и сопротивление: [ P = \frac{U^2}{R} ] Откуда сопротивление: [ R = \frac{U^2}{P} = \frac{220^2}{1857.78} \approx 26.07 \text{ Ом} ]
Определим длину проводника:
Используем формулу для сопротивления проводника: [ R = \rho \frac{L}{A} ] где:
Переведём площадь в квадратные метры: [ A = 0.1 \text{ мм}^2 = 0.1 \times 10^{-6} \text{ м}^2 = 10^{-7} \text{ м}^2 ]
Теперь найдём длину ( L ): [ L = \frac{R \times A}{\rho} = \frac{26.07 \times 10^{-7}}{1.1} \approx 0.00237 \text{ м} = 23.7 \text{ м} ]
Таким образом, для изготовления нагревателя нужно взять нихромовый проводник длиной примерно 23.7 метра.
Для решения данной задачи нам нужно определить мощность нагревателя, используя формулу: P = (m c ΔT) / t, где m - масса воды (в данном случае 1,5 кг), c - удельная теплоемкость воды (4,186 кДж/кг*°C), ΔT - изменение температуры (для кипения воды 100 °C), t - время нагрева (5 мин = 300 с).
P = (1,5 4,186 100) / 300 = 627 Вт
Затем определяем сопротивление нагревателя: R = U^2 / P, где U - напряжение в сети (220 В).
R = 220^2 / 627 = 77,5 Ом
Теперь находим длину нихромового проводника: L = R S / ρ, где S - сечение проводника (0,1 мм^2), ρ - удельное сопротивление нихрома (1,1 Ом мм^2 / м).
L = 77,5 * 0,1 / 1,1 = 7,05 мм
Таким образом, необходимо взять нихромовый проводник длиной 7,05 мм.
Для того чтобы рассчитать необходимую длину нихромового проводника, сначала определим тепловую мощность, необходимую для нагрева 1,5 л воды до кипения.
Масса воды: m = 1,5 кг = 1500 г Удельная теплоемкость воды: c = 4,186 Дж/(г*°C) Температурный перепад: ΔT = 100 °C - 20 °C = 80 °C
Тепловая мощность: Q = mcΔT = 1500 г 4,186 Дж/(г°C) * 80 °C = 502320 Дж
Тепловая мощность, необходимая для нагрева воды до кипения: Q = 502320 Дж/300 с = 1674 Вт
Так как КПД нагревателя составляет 90%, то электрическая мощность, потребляемая нагревателем, равна: P = Q/КПД = 1674 Вт / 0,9 = 1860 Вт
Сопротивление нихромового проводника можно выразить через удельное сопротивление и длину проводника: R = ρ (L/A), где ρ - удельное сопротивление нихрома (1,1 Оммм²/м), L - длина проводника, A - площадь поперечного сечения проводника (0,1 мм² = 0,1 * 10^-6 м²).
Также известно, что напряжение в сети равно 220 В, следовательно, электрическая мощность равна: P = U²/R, где U - напряжение в сети.
Подставляем известные значения и находим необходимую длину проводника: 1860 Вт = 220 В² / (1,1 Ом L / (0,1 10^-6 м²)), L = (220 В² 1,1 Ом) / (1860 Вт 0,1 * 10^-6 м²) ≈ 1,2 м
Таким образом, необходимо взять нихромовый проводник длиной около 1,2 м с площадью поперечного сечения 0,1 мм² для изготовления нагревателя, который сможет за 5 минут довести до кипения 1,5 л воды при 20 °C при напряжении в сети 220 В и КПД 90%.
