Груз массой 0,08 кг, подвешенный на пружине, совершает свободное гармонические колебания. Какой массы...

Чтобы ответить на этот вопрос, разберёмся с основами теории гармонических колебаний груза на пружине.

Формула для частоты колебаний

Частота колебаний груза на пружине определяется формулой:

[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} ]

где:

• ( f ) — частота колебаний,
• ( k ) — жёсткость пружины,
• ( m ) — масса груза.

Из этой формулы видно, что частота ( f ) обратно пропорциональна корню из массы груза ( m ).

Условие задачи

В задаче сказано, что частота должна уменьшиться в 2 раза. Пусть начальная частота колебаний соответствует массе ( m_1 = 0{,}08 \, \text{кг} ). Новая частота ( f_2 ) будет в 2 раза меньше начальной частоты ( f_1 ), то есть:

[ f_2 = \frac{f_1}{2}. ]

Подставим это условие в формулу для частоты. Новая частота ( f_2 ) будет равна:

[ f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_2}}, ]

где ( m_2 ) — масса нового груза.

Связь частот

Так как ( f_2 = \frac{f_1}{2} ), запишем отношение частот:

[ \frac{f_1}{f_2} = 2. ]

Подставим выражения для ( f_1 ) и ( f_2 ):

[ \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_2}}} = 2. ]

Сократим ( \frac{1}{2\pi} ) и преобразуем:

[ \sqrt{\frac{k}{m_1}} \div \sqrt{\frac{k}{m_2}} = 2. ]

[ \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = 2. ]

Возведём обе стороны уравнения в квадрат:

[ \frac{m_2}{m_1} = 4. ]

[ m_2 = 4 \cdot m_1. ]

Вычисление ( m_2 )

Подставим значение ( m_1 = 0{,}08 \, \text{кг} ):

[ m_2 = 4 \cdot 0{,}08 = 0{,}32 \, \text{кг}. ]

Ответ

Чтобы частота колебаний уменьшилась в 2 раза, масса нового груза должна быть равна 0,32 кг.

Для решения задачи о колебаниях груза на пружине необходимо воспользоваться формулой, описывающей частоту свободных колебаний системы. Частота колебаний ( f ) пружинного маятника определяется по формуле:

[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} ]

где:

• ( f ) — частота колебаний,
• ( k ) — жесткость пружины,
• ( m ) — масса груза.

Если мы хотим уменьшить частоту колебаний в 2 раза, то необходимо, чтобы новая частота ( f' ) была равна:

[ f' = \frac{f}{2} ]

При этом, подставляя в формулу для новой частоты и учитывая, что новая масса будет обозначаться как ( m' ), получаем:

[ f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m'}} ]

Сравнивая обе формулы для частоты, можем записать следующее равенство:

[ \frac{1}{2} f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m'}} ]

Теперь подставим в это уравнение выражение для первоначальной частоты:

[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m'}} ]

Упрощая, мы можем избавиться от общего множителя ( \frac{1}{2\pi} ):

[ \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{k}{m'}} ]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[ \frac{1}{4} \frac{k}{m} = \frac{k}{m'} ]

Упрощая, получаем:

[ \frac{1}{4} \cdot m' = m ]

Теперь выразим новую массу ( m' ):

[ m' = 4m ]

Теперь подставим значение ( m = 0,08 ) кг:

[ m' = 4 \cdot 0,08 = 0,32 \text{ кг} ]

Итак, чтобы частота колебаний уменьшилась в 2 раза, необходимо подвесить груз массой 0,32 кг.