Физика 10 вывод формулы (сложно) из формулы H = v₀t + gt²/2 выразить t = ?

Чтобы выразить ( t ) из формулы ( H = v_0 t + \frac{gt^2}{2} ), начнем с того, что данное уравнение представляет собой уравнение движения с постоянным ускорением, где:

• ( H ) – высота (или перемещение),
• ( v_0 ) – начальная скорость,
• ( g ) – ускорение (обычно это ускорение свободного падения, равное примерно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )),
• ( t ) – время.

Формула имеет вид квадратичного уравнения относительно ( t ). Чтобы привести уравнение к стандартному виду квадратичного уравнения, перепишем его:

[ \frac{gt^2}{2} + v_0 t - H = 0 ]

Теперь мы видим, что это уравнение имеет форму ( at^2 + bt + c = 0 ), где:

• ( a = \frac{g}{2} ),
• ( b = v_0 ),
• ( c = -H ).

Для решения данного уравнения относительно ( t ) используем формулу для корней квадратичного уравнения:

[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Теперь подставим значения ( a ), ( b ) и ( c ):

[ t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot (-H)}}{2 \cdot \frac{g}{2}} ]

Упрощаем выражение:

1. В знаменателе ( 2 \cdot \frac{g}{2} = g ).
2. В подкоренном выражении ( v_0^2 - 4 \cdot \frac{g}{2} \cdot (-H) = v_0^2 + 2gH ).

Теперь у нас получается:

[ t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g} ]

Таким образом, мы выразили ( t ) через начальную скорость ( v_0 ), высоту ( H ) и ускорение ( g ):

[ t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g} ]

Теперь необходимо учитывать, что в физическом контексте время не может быть отрицательным, поэтому выбираем только положительное значение:

[ t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g} ]

Это окончательное выражение для ( t ).

Давайте подробно разберем, как выразить ( t ) из уравнения:

[ H = v_0 t + \frac{g t^2}{2}, ]

где:

• ( H ) — высота,
• ( v_0 ) — начальная скорость,
• ( g ) — ускорение свободного падения,
• ( t ) — время.

Это квадратное уравнение относительно ( t ). Чтобы найти ( t ), применим стандартный метод решения квадратных уравнений.

Шаг 1. Приведение к стандартному виду

Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения: [ \frac{g t^2}{2} + v_0 t - H = 0. ]

Домножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: [ g t^2 + 2 v_0 t - 2 H = 0. ]

Теперь уравнение выглядит как: [ a t^2 + b t + c = 0, ] где:

• ( a = g ),
• ( b = 2 v_0 ),
• ( c = -2 H ).

Шаг 2. Формула для корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения рассчитываются по формуле: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где:

• ( a ), ( b ), ( c ) — коэффициенты.

Подставим значения коэффициентов ( a = g ), ( b = 2 v_0 ), ( c = -2 H ) в эту формулу.

Шаг 3. Подстановка коэффициентов

Подставляем значения: [ t = \frac{-2 v_0 \pm \sqrt{(2 v_0)^2 - 4 g (-2 H)}}{2 g}. ]

Упростим выражение под корнем: [ (2 v_0)^2 = 4 v_0^2, \quad -4 g (-2 H) = 8 g H. ]

Таким образом: [ t = \frac{-2 v_0 \pm \sqrt{4 v_0^2 + 8 g H}}{2 g}. ]

Шаг 4. Упрощение

Извлечем общий множитель под корнем: [ t = \frac{-2 v_0 \pm \sqrt{4 (v_0^2 + 2 g H)}}{2 g}. ]

Вынесем ( 2 ) за скобки в числителе: [ t = \frac{2 \left(-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2 g H} \right)}{2 g}. ]

Сократим числитель и знаменатель на ( 2 ): [ t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2 g H}}{g}. ]

Шаг 5. Выбор корня

Поскольку время ( t ) не может быть отрицательным, выбираем знак «+» перед корнем: [ t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g H}}{g}. ]

Итоговая формула

Время ( t ) выражается следующим образом: [ t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g H}}{g}. ]

Обсуждение

1. Формула применима, когда ускорение ( g > 0 ) (например, свободное падение или движение вверх/вниз под действием силы тяжести).
2. Если ( H = 0 ) (тело находится на начальном уровне), то ( t = 0 ) или ( t = \frac{2 v_0}{g} ), что соответствует времени возвращения тела на начальный уровень.
3. Знак перед квадратным корнем важен: выбираем только положительное значение времени ( t ).