Электропоезд в момент выключения тока имел скорость 20м/с. Какой путь пройдёт поезд без включения тормозов...

Для решения этой задачи необходимо учитывать влияние силы сопротивления на движение электропоезда. Когда электропоезд движется без использования тормозов и без подачи тока, его замедление происходит из-за сил сопротивления, таких как трение и аэродинамическое сопротивление. Мы будем предполагать, что основное сопротивление движению создаётся за счёт этих сил, и оно пропорционально скорости. Тогда сила сопротивления можно выразить как:

[ F_{\text{сопр}} = k \cdot v, ]

где ( k ) — коэффициент сопротивления, равный 0,005 в данном случае, а ( v ) — скорость поезда.

По закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение:

[ F = m \cdot a. ]

В данном случае ускорение будет отрицательным (замедление), и его можно обозначить как ( a = -\frac{F_{\text{сопр}}}{m} = -k \cdot v ).

Запишем это в виде дифференциального уравнения для скорости:

[ m \cdot \frac{dv}{dt} = -k \cdot v. ]

Решение этого уравнения даёт зависимость скорости от времени:

[ \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m} \cdot dt. ]

Интегрируем обе части:

[ \int \frac{dv}{v} = -\frac{k}{m} \int dt. ]

Получаем:

[ \ln v = -\frac{k}{m} \cdot t + C, ]

где ( C ) — интеграционная постоянная. Для нахождения этой постоянной используем начальные условия: при ( t = 0 ) скорость ( v = v_0 = 20 ) м/с. Тогда:

[ \ln 20 = C. ]

Таким образом, уравнение принимает вид:

[ \ln v = -\frac{k}{m} \cdot t + \ln 20. ]

Преобразуем это уравнение в экспоненциальную форму:

[ v = 20 \cdot e^{-\frac{k}{m} \cdot t}. ]

Теперь найдём путь, который пройдёт поезд до полной остановки. Путь ( s ) можно найти, интегрируя скорость по времени:

[ s = \int v \, dt = \int 20 \cdot e^{-\frac{k}{m} \cdot t} \, dt. ]

Решая этот интеграл, получаем:

[ s = -\frac{20m}{k} \cdot e^{-\frac{k}{m} \cdot t} + C. ]

Для нахождения пути до полной остановки, нам нужно найти ( s ) при ( v = 0 ). При ( v = 0 ), из уравнения скорости следует, что:

[ 0 = 20 \cdot e^{-\frac{k}{m} \cdot t}, ]

что достигается при ( t \to \infty ). Поскольку торможение происходит постепенно, путь до остановки можно выразить как предел при ( t \to \infty ):

[ s = \lim_{t \to \infty} \left(-\frac{20m}{k} \cdot e^{-\frac{k}{m} \cdot t}\right). ]

Предел экспоненциальной функции при ( t \to \infty ) равен нулю, и, следовательно, путь до остановки определяется константной частью:

[ s = \frac{20m}{k}. ]

Чтобы найти конкретное значение пути, необходимо знать массу поезда ( m ). Однако, без этой информации, мы можем выразить путь только в зависимости от массы.

Таким образом, путь, который пройдёт поезд до остановки, будет зависеть от массы поезда и равен (\frac{20m}{0,005}). Если масса поезда, например, 10000 кг, то путь будет равен:

[ s = \frac{20 \times 10000}{0,005} = 4000000 \, \text{м} = 4000 \, \text{км}. ]

В данном случае это чисто теоретическое значение, так как реальная масса поезда и другие факторы могут существенно изменить результат.

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться уравнением движения, учитывающим влияние силы сопротивления. Сила сопротивления движению пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна коэффициенту сопротивления.

F = k*v^2, где F - сила сопротивления, k - коэффициент сопротивления, v - скорость.

Сила сопротивления создает ускорение, противоположное направлению движения поезда. Уравнение движения с учетом силы сопротивления выглядит следующим образом:

ma = -kv^2, где m - масса поезда, a - ускорение.

Так как ускорение противоположно направлению движения, то a = -dv/dt, где v - скорость, t - время.

Подставляя в уравнение движения, получаем:

m(-dv/dt) = -kv^2.

Разделив обе части уравнения на m и проинтегрировав по времени, получим:

∫(1/v^2)dv = k/m * ∫dt.

Интегрируя обе части, получим:

-1/v = k/m * t + C.

Используя начальные условия (v = 20 м/с при t = 0), находим константу С:

-1/20 = 0 + C, C = -1/20.

Теперь мы можем найти уравнение скорости поезда в зависимости от времени:

-1/v = k/m * t - 1/20.

При v = 0 (остановка поезда), t = T (время остановки). Подставляем в уравнение и находим время остановки:

-1/0 = k/m T - 1/20, T = 20m/(k v^2).

Теперь, чтобы найти путь, который пройдет поезд до полной остановки, используем уравнение пути:

S = ∫vdt = ∫20 dt = 20T = 20 20m/(k v^2) = 400m / (0.005 * 20^2) = 400m / 2 = 200 метров.

Таким образом, электропоезд пройдет 200 метров до полной остановки без включения тормозов.