Электрон влетает в магнитное поле индукцией 10 мТл перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью 1 Мм/с. А) Чему равен радиус кривизны траектории, по которой движется электрон? Модуль заряда электрона е = 1,6 • 10-19 Кл, масса электрона 9,1 • 10-31 кг. Б) С какой частотой обращается электрон? В) как изменится частота обращения электрона при увеличении магнитной индукции в 2 раза?
Для решения задачи воспользуемся основными формулами и принципами движения заряженных частиц в магнитном поле.
Когда электрон влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, он начинает двигаться по круговой траектории под действием силы Лоренца. Сила Лоренца определяется как:
[ F = e \cdot v \cdot B ]
где:
Эта сила также является центростремительной силой, которая удерживает электрон на круговой траектории. Центростремительная сила для кругового движения равна:
[ F = \frac{m \cdot v^2}{r} ]
где ( m ) — масса электрона, ( r ) — радиус кривизны траектории.
Приравняем эти две силы:
[ e \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{r} ]
Для нахождения радиуса выразим ( r ):
[ r = \frac{m \cdot v}{e \cdot B} ]
Подставим известные значения:
Тогда:
[ r = \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 1 \cdot 10^6 \text{ м/с}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} ]
[ r = \frac{9.1 \cdot 10^{-25}}{1.6 \cdot 10^{-21}} ]
[ r \approx 5.69 \cdot 10^{-4} \text{ м} ]
Радиус кривизны траектории равен примерно ( 5.69 \cdot 10^{-4} ) метров (или 0.569 мм).
Частота обращения электрона в магнитном поле (циклическая частота) определяется как:
[ \omega = \frac{v}{r} ]
Также циклическую частоту можно выразить через параметры поля и заряда:
[ \omega = \frac{e \cdot B}{m} ]
Подставим известные значения:
[ \omega = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} ]
[ \omega = \frac{1.6 \cdot 10^{-21}}{9.1 \cdot 10^{-31}} ]
[ \omega \approx 1.76 \cdot 10^{10} \text{ рад/с} ]
Чтобы найти частоту обращения (количество оборотов в секунду), нужно разделить циклическую частоту на ( 2\pi ):
[ f = \frac{\omega}{2\pi} ]
[ f = \frac{1.76 \cdot 10^{10}}{2\pi} ]
[ f \approx 2.8 \cdot 10^9 \text{ Гц} ]
Частота обращения электрона составляет примерно ( 2.8 \cdot 10^9 ) Гц.
Из формулы для циклической частоты видно, что она прямо пропорциональна магнитной индукции ( B ):
[ \omega = \frac{e \cdot B}{m} ]
Если магнитная индукция увеличится в 2 раза, то циклическая частота также увеличится в 2 раза. То есть, новая частота обращений будет:
[ \omega' = 2 \omega ]
Новая частота обращения (в герцах) будет также в 2 раза выше:
[ f' = 2 f ]
Первоначальная частота ( f \approx 2.8 \cdot 10^9 ) Гц, тогда новая частота будет:
[ f' \approx 2 \cdot 2.8 \cdot 10^9 \text{ Гц} ]
[ f' \approx 5.6 \cdot 10^9 \text{ Гц} ]
Таким образом, при увеличении магнитной индукции в 2 раза частота обращения электрона увеличится также в 2 раза и составит примерно ( 5.6 \cdot 10^9 ) Гц.
А) Радиус кривизны траектории равен r = (mv) / (eB), где m - масса электрона, v - скорость электрона, e - заряд электрона, B - индукция магнитного поля. Подставив значения, получим r = (9,1 • 10^-31 кг 10^6 м/с) / (1,6 • 10^-19 Кл 10^-2 Тл) ≈ 0,57 мм.
Б) Частота обращения электрона f = (eB) / (2πm), подставив значения, получим f ≈ (1,6 • 10^-19 Кл 10^-2 Тл) / (2π 9,1 • 10^-31 кг) ≈ 1,76 • 10^8 Гц.
В) При увеличении магнитной индукции в 2 раза, новая частота обращения электрона будет f' = (2eB) / (2πm) = f. То есть частота обращения электрона не изменится.
А) Для расчета радиуса кривизны траектории электрона воспользуемся формулой для центростремительного ускорения: Fцс = m a = m (v^2 / r), где m - масса электрона, a - центростремительное ускорение, v - скорость электрона, r - радиус кривизны траектории. Центростремительное ускорение равно q v B / m, где q - заряд электрона, B - индукция магнитного поля. Таким образом, радиус кривизны траектории электрона будет равен: r = m v / (q B) = (9,1 • 10^-31 кг 1 • 10^6 м/с) / (1,6 • 10^-19 Кл 10 • 10^-3 Тл) = 5,69 • 10^-2 м.
Б) Частота обращения электрона определяется формулой: f = v / (2 π r) = 1 • 10^6 м/с / (2 π 5,69 • 10^-2 м) ≈ 2,78 • 10^6 Гц.
В) При увеличении магнитной индукции в 2 раза частота обращения электрона изменится по формуле: f' = v / (2 π r') = 1 • 10^6 м/с / (2 π 2 * 5,69 • 10^-2 м) ≈ 1,39 • 10^6 Гц. Таким образом, частота обращения электрона уменьшится в 2 раза.
