Два тела с массами 2 и 3 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 2 и 1 м\с соответственно найти скорости тел после абсолютного упругого удара
Два тела с массами 2 и 3 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 2 и 1 м\с соответственно найти скорости тел после абсолютного упругого удара
По закону сохранения импульса и закону сохранения энергии найдем скорости тел после удара. Сумма импульсов до удара равна сумме импульсов после удара. Сумма кинетических энергий до удара равна сумме кинетических энергий после удара. Получаем, что скорости тел после удара будут равны -1 м/с и 4 м/с.
При абсолютном упругом ударе сохраняются как импульс, так и кинетическая энергия системы. Давайте решим задачу, используя эти законы.
Дано:
Для упругого удара выполняются два закона сохранения:
Закон сохранения импульса:
[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' ]
Подставим известные значения:
[ 2 \times 2 + 3 \times (-1) = 2v_1' + 3v_2' ]
[ 4 - 3 = 2v_1' + 3v_2' ]
[ 1 = 2v_1' + 3v_2' ]
Закон сохранения кинетической энергии:
[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2 ]
Подставим известные значения:
[ \frac{1}{2} \times 2 \times 2^2 + \frac{1}{2} \times 3 \times (-1)^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times v_1'^2 + \frac{1}{2} \times 3 \times v_2'^2 ]
[ 4 + 1.5 = v_1'^2 + \frac{3}{2} v_2'^2 ]
[ 5.5 = v_1'^2 + 1.5 v_2'^2 ]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим ( v_1' ):
[ v_1' = \frac{1 - 3v_2'}{2} ]
Подставим это выражение во второе уравнение:
[ \left(\frac{1 - 3v_2'}{2}\right)^2 + 1.5v_2'^2 = 5.5 ]
Раскроем скобки и упростим:
[ \frac{(1 - 3v_2')^2}{4} + 1.5v_2'^2 = 5.5 ]
[ \frac{1 - 6v_2' + 9v_2'^2}{4} + 1.5v_2'^2 = 5.5 ]
[ \frac{1}{4} - \frac{6v_2'}{4} + \frac{9v_2'^2}{4} + 1.5v_2'^2 = 5.5 ]
Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дробей:
[ 1 - 6v_2' + 9v_2'^2 + 6v_2'^2 = 22 ]
[ 15v_2'^2 - 6v_2' - 21 = 0 ]
Решим квадратное уравнение:
[ 15v_2'^2 - 6v_2' - 21 = 0 ]
Дискриминант:
[ D = (-6)^2 - 4 \times 15 \times (-21) = 36 + 1260 = 1296 ]
Корни:
[ v_2' = \frac{6 \pm \sqrt{1296}}{30} ]
[ v_2' = \frac{6 \pm 36}{30} ]
[ v_2' = \frac{42}{30} = 1.4 \quad \text{или} \quad v_2' = \frac{-30}{30} = -1 ]
Теперь найдём ( v_1' ) для каждого случая:
Если ( v_2' = 1.4 ):
[ v_1' = \frac{1 - 3 \times 1.4}{2} = \frac{1 - 4.2}{2} = \frac{-3.2}{2} = -1.6 ]
Если ( v_2' = -1 ):
[ v_1' = \frac{1 - 3 \times (-1)}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 ]
Таким образом, после абсолютного упругого удара возможны два варианта скоростей:
Первая пара скоростей соответствует реальному случаю изменения направлений движения тел после удара, так как второе решение соответствует случаю, когда тела продолжают двигаться с исходными скоростями, что не является изменением состояния после удара.
Для решения данной задачи воспользуемся законами сохранения импульса и кинетической энергии. После абсолютно упругого удара сумма импульсов тел до и после столкновения остается постоянной.
Импульс тела 1 до столкновения: P1 = m1 v1 = 2 кг 2 м/с = 4 кг*м/с
Импульс тела 2 до столкновения: P2 = m2 v2 = 3 кг (-1 м/с) = -3 кг*м/с
Сумма импульсов до столкновения: P = P1 + P2 = 4 кгм/с - 3 кгм/с = 1 кг*м/с
Сумма импульсов после столкновения также равна 1 кг*м/с, так как сохраняется закон сохранения импульса.
Пусть скорость тела 1 после столкновения равна v1', а скорость тела 2 равна v2'. Тогда:
m1 v1' + m2 v2' = P
2 v1' + 3 v2' = 1
Также, в силу абсолютно упругого удара, закон сохранения кинетической энергии также выполняется:
(1/2) m1 v1^2 + (1/2) m2 v2^2 = (1/2) m1 v1'^2 + (1/2) m2 v2'^2
(1/2) 2 2^2 + (1/2) 3 1^2 = (1/2) 2 v1'^2 + (1/2) 3 v2'^2
4 + 1.5 = v1'^2 + 1.5
5.5 = v1'^2 + 1.5
v1'^2 = 4
v1' = 2 м/с
Тогда, зная скорость тела 1 после столкновения, найдем скорость тела 2:
2 2 + 3 v2' = 1
4 + 3 * v2' = 1
3 * v2' = -3
v2' = -1 м/с
Итак, скорости тел после абсолютно упругого удара будут равны 2 м/с и -1 м/с соответственно.
