Девочка массой 40 кг, стоя на очень гладком льду, бросает камень массой 2 кг под углом 60° к горизонту...

Для решения задачи используем закон сохранения импульса. Сначала определим импульс системы до броска и после. Поскольку девочка стоит на месте, ее начальный импульс равен нулю.

Когда девочка бросает камень, система (девочка + камень) должна сохранить общий импульс. Импульс камня можно вычислить по формуле:

[ \vec{p}{камня} = m{камня} \cdot \vec{v}_{камня} ]

где (m{камня} = 2 \, \text{кг}), а (\vec{v}{камня} = 4 \, \text{м/с}) под углом 60° к горизонту.

Разложим скорость камня на компоненты:

• Горизонтальная компонента:

[ v{x,камня} = v{камня} \cdot \cos(60°) = 4 \cdot 0.5 = 2 \, \text{м/с} ]

• Вертикальная компонента:

[ v{y,камня} = v{камня} \cdot \sin(60°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{м/с} ]

Теперь найдем импульс камня:

• Горизонтальная составляющая импульса:

[ p{x,камня} = m{камня} \cdot v_{x,камня} = 2 \cdot 2 = 4 \, \text{кг·м/с} ]

• Вертикальная составляющая импульса:

[ p{y,камня} = m{камня} \cdot v_{y,камня} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \, \text{кг·м/с} ]

Теперь, согласно закону сохранения импульса, девочка должна получить равный и противоположный импульс. Обозначим скорость девочки после броска как (\vec{v}{девочки}), её массу (m{девочки} = 40 \, \text{кг}).

Для горизонтальной компоненты:

[ m{девочки} \cdot v{x,девочки} = -p_{x,камня} ]

Подставляем значения:

[ 40 \cdot v_{x,девочки} = -4 ]

Отсюда:

[ v_{x,девочки} = -\frac{4}{40} = -0.1 \, \text{м/с} ]

Для вертикальной компоненты:

[ m{девочки} \cdot v{y,девочки} = -p_{y,камня} ]

Подставляем значения:

[ 40 \cdot v_{y,девочки} = -4\sqrt{3} ]

Отсюда:

[ v_{y,девочки} = -\frac{4\sqrt{3}}{40} = -\frac{\sqrt{3}}{10} \, \text{м/с} ]

Теперь найдем модуль скорости девочки после броска:

[ v{девочки} = \sqrt{v{x,девочки}^2 + v_{y,девочки}^2} = \sqrt{(-0.1)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{10}\right)^2} ]

[ v_{девочки} = \sqrt{0.01 + \frac{3}{100}} = \sqrt{0.01 + 0.03} = \sqrt{0.04} = 0.2 \, \text{м/с} ]

Теперь можем найти кинетическую энергию девочки после броска по формуле:

[ KE{девочки} = \frac{1}{2} m{девочки} v_{девочки}^2 ]

Подставляем значения:

[ KE_{девочки} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (0.2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 0.04 = 0.8 \, \text{Дж} ]

Итак, кинетическая энергия девочки после броска составляет 0.8 Дж.

Для решения задачи используем законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Дано:

• Масса девочки (m_{\text{д}} = 40 \, \text{кг}),
• Масса камня (m_{\text{к}} = 2 \, \text{кг}),
• Скорость камня относительно льда (v_{\text{к}} = 4 \, \text{м/с}),
• Угол броска камня (\theta = 60^\circ).

Найти кинетическую энергию девочки после броска.

Решение:

1. Сохранение импульса. Так как девочка стоит на очень гладком льду, сила трения отсутствует, и система "девочка + камень" замкнутая. Следовательно, закон сохранения импульса в горизонтальном и вертикальном направлениях выполняется.

   Рассмотрим импульсы до и после броска:

   • До броска вся система находится в покое, поэтому общий импульс равен нулю.
   • После броска импульс камня и девочки должны компенсировать друг друга, чтобы общий импульс системы остался равным нулю.

   Разложим импульс камня на горизонтальную ((x)) и вертикальную ((y)) составляющие: [ p{\text{к}, x} = m{\text{к}} v{\text{к}} \cos\theta, ] [ p{\text{к}, y} = m{\text{к}} v{\text{к}} \sin\theta. ]

   Учитывая, что девочка не может двигаться по вертикали (так как лед не позволяет вертикального движения), вертикальный импульс камня будет компенсироваться внутренними силами (например, реакцией опоры), и для нас важен только горизонтальный компонент импульса.

   Горизонтальный импульс системы после броска: [ px = 0 \implies p{\text{д}, x} + p{\text{к}, x} = 0, ] где (p{\text{д}, x}) — горизонтальный импульс девочки. Тогда: [ m{\text{д}} v{\text{д}} = m{\text{к}} v{\text{к}} \cos\theta. ]

   Выразим скорость девочки ((v{\text{д}})) после броска: [ v{\text{д}} = \frac{m{\text{к}} v{\text{к}} \cos\theta}{m_{\text{д}}}. ]

2. Подставим числовые значения: [ v{\text{д}} = \frac{2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ}{40}. ] Зная, что (\cos 60^\circ = 0.5): [ v{\text{д}} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 0.5}{40} = \frac{4}{40} = 0.1 \, \text{м/с}. ]

3. Найдем кинетическую энергию девочки. Кинетическая энергия девочки после броска рассчитывается по формуле: [ E{\text{кин}} = \frac{1}{2} m{\text{д}} v_{\text{д}}^2. ]

   Подставим значения: [ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (0.1)^2 = 20 \cdot 0.01 = 0.2 \, \text{Дж}. ]

Ответ:

Кинетическая энергия девочки после броска равна (0.2 \, \text{Дж}).