Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 об/мин, переходит к ее центру. Считая платформу однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой будет вращаться платформа.
Для решения данной задачи можно использовать закон сохранения момента импульса. После того, как человек перейдет к центру платформы, суммарный момент импульса системы должен сохраниться. Поэтому, чтобы найти частоту вращения платформы после перехода человека к центру, нужно использовать уравнение:
( m_1 \cdot r_1 \cdot \omega_1 = m_2 \cdot r_2 \cdot \omega_2 ),
где ( m_1 ) и ( m_2 ) - массы человека и платформы, ( r_1 ) и ( r_2 ) - радиусы платформы до и после перехода человека, ( \omega_1 ) и ( \omega_2 ) - угловые скорости платформы до и после перехода человека.
Подставив известные значения, можно найти частоту вращения платформы после того, как человек перешел к ее центру.
Для решения задачи можно использовать закон сохранения углового момента. Угловой момент системы сохраняется, если на систему не действуют внешние моменты сил. В данном случае можно предположить, что таких моментов нет.
Угловой момент ( L ) системы равен произведению момента инерции системы ( I ) на угловую скорость ( \omega ): [ L = I \omega ]
На начальный момент времени угловой момент системы (человек + платформа) равен сумме угловых моментов каждого тела: [ Li = I{\text{платформа}} \omegai + I{\text{человек}} \omega_i ] где ( \omega_i ) - начальная угловая скорость вращения платформы.
Момент инерции платформы (как для однородного диска) равен: [ I_{\text{платформа}} = \frac{1}{2} M R^2 ] где ( M ) - масса платформы, ( R ) - радиус платформы.
Момент инерции человека (как для точечной массы, находящейся на краю платформы) равен: [ I_{\text{человек}} = m r^2 ] где ( m ) - масса человека, ( r ) - расстояние от человека до оси вращения.
Когда человек перемещается к центру, его момент инерции уменьшается до нуля (поскольку расстояние до оси вращения становится равным нулю). Таким образом, конечный угловой момент системы равен: [ Lf = I{\text{платформа}} \omega_f ]
Поскольку угловой момент сохраняется: [ I_{\text{платформа}} \omega_i + m R^2 \omegai = I{\text{платформа}} \omega_f ]
Отсюда можно выразить конечную угловую скорость ( \omega_f ): [ \omega_f = \omegai \frac{I{\text{платформа}} + m R^2}{I_{\text{платформа}}} ]
Подставим выражение для момента инерции платформы: [ \omega_f = \omega_i \frac{\frac{1}{2} M R^2 + m R^2}{\frac{1}{2} M R^2 } = \omega_i \left(1 + \frac{2m}{M}\right) ]
Подставим данные из задачи: [ \omega_i = 10 \text{ об/мин} = \frac{10}{60} \text{ об/с} = \frac{1}{6} \text{ рад/с} ] [ M = 120 \text{ кг}, m = 60 \text{ кг} ]
[ \omega_f = \frac{1}{6} \left(1 + \frac{2 \times 60}{120}\right) = \frac{1}{6} \left(1 + 1\right) = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3} \text{ рад/с} ] [ \omega_f = \frac{1}{3} \times 60 \text{ об/мин} = 20 \text{ об/мин} ]
Таким образом, конечная угловая скорость вращения платформы составит 20 об/мин.
Для решения этой задачи нам необходимо применить закон сохранения момента импульса. Поскольку система изначально находится в состоянии покоя, то суммарный момент импульса системы до перемещения человека к центру платформы равен нулю. После того, как человек переместился к центру, суммарный момент импульса системы также должен остаться равным нулю.
Момент импульса системы можно выразить как произведение момента инерции платформы на ее угловую скорость. Поскольку момент инерции платформы и человека относительно оси вращения остаются постоянными, то можно записать уравнение:
I1 ω1 = I2 ω2
где I1 - момент инерции платформы, ω1 - угловая скорость платформы до перемещения человека, I2 - момент инерции платформы после перемещения человека к центру, ω2 - искомая угловая скорость платформы после перемещения человека.
Момент инерции платформы как диска относительно вертикальной оси выражается формулой I = (1/2) M R^2, где M - масса платформы, R - радиус платформы.
Исходя из этого, можем записать уравнение:
(1/2) M R^2 ω1 = (1/2) M (R/2)^2 ω2
Подставляем известные значения: M = 120 кг, R - радиус платформы, ω1 = 10 об/мин (переводим в радианы в секунду), ω2 - искомая угловая скорость.
Решив уравнение, найдем значение ω2, которое будет равно частоте вращения платформы после перемещения человека к ее центру.
