Напряжение на зажимах генератора изменяется по закону: ( u = 220 \cos(100 \pi t) ).
А) Найдите период и частоту колебаний напряжения.
Уравнение напряжения имеет форму ( u(t) = U_0 \cos(\omega t) ), где ( U_0 ) — амплитуда напряжения, а ( \omega ) — угловая частота.
В данном случае ( \omega = 100 \pi ).
Связь между угловой частотой ( \omega ) и частотой ( f ) выражается формулой:
[
\omega = 2 \pi f
]
Тогда:
[
100 \pi = 2 \pi f
]
Разделим обе стороны на ( 2 \pi ):
[
f = \frac{100 \pi}{2 \pi} = 50 \text{ Гц}
]
Период колебаний ( T ) связан с частотой ( f ) следующей зависимостью:
[
T = \frac{1}{f}
]
Тогда:
[
T = \frac{1}{50} = 0,02 \text{ с}
]
Ответ:
Частота ( f = 50 ) Гц, период ( T = 0,02 ) с.
Индуктивное сопротивление катушки в цепи переменного тока 50 Гц равно 31,4 Ом. Чему равна индуктивность катушки?
Индуктивное сопротивление ( X_L ) определяется формулой:
[
X_L = \omega L
]
где ( \omega = 2 \pi f ) — угловая частота, ( L ) — индуктивность.
В данном случае:
[
X_L = 31,4 \text{ Ом}, \quad f = 50 \text{ Гц}
]
Рассчитаем ( \omega ):
[
\omega = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \text{ рад/с}
]
Теперь найдем индуктивность:
[
L = \frac{X_L}{\omega} = \frac{31,4}{100 \pi} = \frac{31,4}{314} = 0,1 \text{ Гн}
]
Ответ:
Индуктивность ( L = 0,1 ) Гн.
Найдите частоту собственных колебаний в контуре с индуктивностью катушки 10 мГн и емкостью конденсатора 1 мкФ.
Частота собственных колебаний в колебательном контуре определяется формулой:
[
f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}
]
где ( L ) — индуктивность, ( C ) — емкость.
В данном случае:
[
L = 10 \text{ мГн} = 10 \times 10^{-3} \text{ Гн}, \quad C = 1 \text{ мкФ} = 1 \times 10^{-6} \text{ Ф}
]
Подставим значения в формулу:
[
f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-3} \times 1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-8}}} = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{2 \pi} \approx 1591 \text{ Гц}
]
Ответ:
Частота собственных колебаний ( f_0 \approx 1591 ) Гц.
Сила тока в первичной обмотке трансформатора 0,5 А, напряжение на его концах 220 В. Сила тока во вторичной обмотке трансформатора 11 А, напряжение на его концах 9,5 В. Найти КПД трансформатора.
КПД трансформатора определяется как отношение полезной мощности к подведенной мощности:
[
\text{КПД} = \frac{P{\text{выход}}}{P{\text{вход}}} \times 100\%
]
Мощность в первичной обмотке:
[
P_{\text{вход}} = U_1 I_1 = 220 \text{ В} \times 0,5 \text{ А} = 110 \text{ Вт}
]
Мощность во вторичной обмотке:
[
P_{\text{выход}} = U_2 I_2 = 9,5 \text{ В} \times 11 \text{ А} = 104,5 \text{ Вт}
]
Рассчитаем КПД:
[
\text{КПД} = \frac{104,5}{110} \times 100\% \approx 95\%
]
Ответ:
КПД трансформатора приблизительно 95%.
Индуктивность катушки колебательного контура 50 мГн. Требуется настроить этот контур на частоту 1 МГц. Какова должна быть емкость конденсатора в этом контуре?
Частота собственных колебаний в колебательном контуре определяется формулой:
[
f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}
]
Решим уравнение относительно емкости ( C ):
[
C = \frac{1}{(2 \pi f_0)^2 L}
]
В данном случае:
[
f_0 = 1 \text{ МГц} = 10^6 \text{ Гц}, \quad L = 50 \text{ мГн} = 50 \times 10^{-3} \text{ Гн}
]
Подставим значения в формулу:
[
C = \frac{1}{(2 \pi \times 10^6)^2 \times 50 \times 10^{-3}} = \frac{1}{(4 \pi^2 \times 10^{12}) \times 50 \times 10^{-3}}
]
Упростим выражение:
[
C = \frac{1}{200 \pi^2 \times 10^9} \approx \frac{1}{200 \times 9,87 \times 10^9} \approx \frac{1}{1974 \times 10^9} \approx 0,506 \times 10^{-12} \text{ Ф} = 506 \text{ пФ}
]
Ответ:
Емкость конденсатора должна быть приблизительно 506 пФ.
